MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flval3 Structured version   Unicode version

Theorem flval3 11932
Description: An alternate way to define the floor (greatest integer) function, as the supremum of all integers less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
flval3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem flval3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3571 . . . . 5  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  ZZ
2 zssre 10867 . . . . 5  |-  ZZ  C_  RR
31, 2sstri 3498 . . . 4  |-  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR
43a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR )
5 flcl 11913 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
6 flle 11917 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
87elrab 3254 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  ( |_
`  A )  <_  A ) )
95, 6, 8sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
)
10 ne0i 3789 . . . 4  |-  ( ( |_ `  A )  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) )
12 reflcl 11914 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
13 breq1 4442 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <_  A  <->  z  <_  A ) )
1413elrab 3254 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  <->  ( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A ) )
15 flge 11923 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1615biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  <_  A  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1716expimpd 601 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  z  <_  A )  ->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
1814, 17syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  ->  z  <_ 
( |_ `  A
) ) )
1918ralrimiv 2866 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) )
20 breq2 4443 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2120ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( y  =  ( |_ `  A )  ->  ( A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2221rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)
2312, 19, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
{ x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )
24 suprub 10499 . . 3  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } )  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )
)
254, 11, 23, 9, 24syl31anc 1229 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
26 suprleub 10502 . . . 4  |-  ( ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/) 
/\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  y
)  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
)  <->  A. z  e.  {
x  e.  ZZ  |  x  <_  A } z  <_  ( |_ `  A ) ) )
274, 11, 23, 12, 26syl31anc 1229 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A )  <->  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  ( |_ `  A ) ) )
2819, 27mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A
) )
29 suprcl 10498 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  C_  RR  /\  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  { x  e.  ZZ  |  x  <_  A }
z  <_  y )  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
304, 11, 23, 29syl3anc 1226 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3112, 30letri3d 9716 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <->  ( ( |_ `  A
)  <_  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  /\  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  )  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
3225, 28, 31mpbir2and 920 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  sup ( { x  e.  ZZ  |  x  <_  A } ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   supcsup 7892   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10860   |_cfl 11908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fl 11910
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator