MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flpmodeq Structured version   Unicode version

Theorem flpmodeq 11950
Description: Partition of a division into its integer part and the remainder. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flpmodeq  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  ( A  /  B ) )  x.  B )  +  ( A  mod  B ) )  =  A )

Proof of Theorem flpmodeq
StepHypRef Expression
1 modvalr 11948 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( ( |_
`  ( A  /  B ) )  x.  B ) ) )
21eqcomd 2408 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  -  (
( |_ `  ( A  /  B ) )  x.  B ) )  =  ( A  mod  B ) )
3 recn 9530 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
43adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
5 rerpdivcl 11209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
6 flcl 11880 . . . . . 6  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
76zcnd 10927 . . . . 5  |-  ( ( A  /  B )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
85, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  CC )
9 rpcn 11189 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  CC )
109adantl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  CC )
118, 10mulcld 9564 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  ( A  /  B
) )  x.  B
)  e.  CC )
12 modcl 11949 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  e.  RR )
1312recnd 9570 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  e.  CC )
144, 11, 13subaddd 9903 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  -  ( ( |_ `  ( A  /  B
) )  x.  B
) )  =  ( A  mod  B )  <-> 
( ( ( |_
`  ( A  /  B ) )  x.  B )  +  ( A  mod  B ) )  =  A ) )
152, 14mpbid 210 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( ( |_
`  ( A  /  B ) )  x.  B )  +  ( A  mod  B ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439    + caddc 9443    x. cmul 9445    - cmin 9759    / cdiv 10165   RR+crp 11181   |_cfl 11875    mod cmo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fl 11877  df-mod 11946
This theorem is referenced by:  fldivmod  38575  modn0mul  38577
  Copyright terms: Public domain W3C validator