MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flo1 Structured version   Unicode version

Theorem flo1 13817
Description: The floor function satisfies  |_ ( x )  =  x  +  O(1). (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
flo1  |-  ( x  e.  RR  |->  ( x  -  ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1)

Proof of Theorem flo1
StepHypRef Expression
1 ssid 3461 . . . 4  |-  RR  C_  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( T. 
->  RR  C_  RR )
3 reflcl 11970 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
4 resubcl 9919 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( |_ `  x )  e.  RR )  -> 
( x  -  ( |_ `  x ) )  e.  RR )
53, 4mpdan 666 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  RR )
65recnd 9652 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  CC )
76adantl 464 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  e.  CC )
8 1red 9641 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
9 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
10 flle 11973 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
113, 9, 10abssubge0d 13412 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  ( x  -  ( |_ `  x ) ) )  =  ( x  -  ( |_
`  x ) ) )
12 fracle1 11977 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  <_  1 )
1311, 12eqbrtrd 4415 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  ( abs `  ( x  -  ( |_ `  x ) ) )  <_  1
)
1413ad2antrl 726 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  -  ( |_
`  x ) ) )  <_  1 )
152, 7, 8, 8, 14elo1d 13508 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR  |->  ( x  -  ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1) )
1615trud 1414 1  |-  ( x  e.  RR  |->  ( x  -  ( |_ `  x ) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1406    e. wcel 1842    C_ wss 3414   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   1c1 9523    <_ cle 9659    - cmin 9841   |_cfl 11964   abscabs 13216   O(1)co1 13458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-o1 13462  df-lo1 13463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator