MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fllelt Structured version   Unicode version

Theorem fllelt 11893
Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fllelt  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  /\  A  <  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )

Proof of Theorem fllelt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flval 11890 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
21eqcomd 2470 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) )
3 flcl 11891 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
4 rebtwnz 11172 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
5 breq1 4445 . . . . 5  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  A )  <_  A
) )
6 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
76breq2d 4454 . . . . 5  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
85, 7anbi12d 710 . . . 4  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
98riota2 6261 . . 3  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  A
) ) )
103, 4, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) ) )
112, 10mpbird 232 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  /\  A  <  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E!wreu 2811   class class class wbr 4442   ` cfv 5581   iota_crio 6237  (class class class)co 6277   RRcr 9482   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620   ZZcz 10855   |_cfl 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fl 11888
This theorem is referenced by:  flle  11895  flltp1  11896  fldivle  11921  prmreclem3  14286  opnmbllem  21740  dya2icoseg  27876  opnmbllem0  29616  flltnz  31032  ioodvbdlimc1lem2  31219  ioodvbdlimc2lem  31221  dirkercncflem4  31363
  Copyright terms: Public domain W3C validator