MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flle Structured version   Unicode version

Theorem flle 11654
Description: A basic property of the floor (greatest integer) function. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
flle  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )

Proof of Theorem flle
StepHypRef Expression
1 fllelt 11652 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  <_  A  /\  A  <  ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
21simpld 459 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424   |_cfl 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fl 11647
This theorem is referenced by:  fracge0  11659  flge  11660  flid  11662  flwordi  11665  flval2  11667  flval3  11668  fladdz  11675  flmulnn0  11677  ceige  11689  flleceil  11697  fleqceilz  11698  quoremz  11699  quoremnn0ALT  11701  modge0  11722  facavg  12082  rddif  12833  o1fsum  13281  flo1  13322  bitscmp  13639  prmreclem4  13985  zcld  20395  mbfi1fseqlem5  21202  mbfi1fseqlem6  21203  dvfsumlem1  21503  dvfsumlem2  21504  dvfsumlem3  21505  harmonicubnd  22408  harmonicbnd4  22409  ppisval  22446  ppiltx  22520  ppiub  22548  chtub  22556  chpub  22564  logfacubnd  22565  logfaclbnd  22566  bposlem1  22628  bposlem5  22632  bposlem6  22633  lgsquadlem1  22698  chebbnd1lem3  22725  vmadivsum  22736  dchrisumlem1  22743  dchrmusum2  22748  dchrisum0lem2a  22771  mudivsum  22784  mulogsumlem  22785  selberglem2  22800  selberg2lem  22804  pntrlog2bndlem4  22834  pntpbnd2  22841  pntlemg  22852  pntlemr  22856  pntlemk  22860  ostth2lem3  22889  ltflcei  28424  lxflflp1  28426  dvtanlem  28446  itg2addnclem3  28450  irrapxlem1  29168
  Copyright terms: Public domain W3C validator