MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimtopon Structured version   Unicode version

Theorem flimtopon 19676
Description: Reverse closure for the limit point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimtopon  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem flimtopon
StepHypRef Expression
1 flimtop 19671 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 18663 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 896 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65flimfil 19675 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2524 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 19587 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 19587 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2456 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 191 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 253 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   U.cuni 4200   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Topctop 18631  TopOnctopon 18632   Filcfil 19551    fLim cflim 19640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-fbas 17940  df-top 18636  df-topon 18639  df-nei 18835  df-fil 19552  df-flim 19645
This theorem is referenced by:  fclsfnflim  19733
  Copyright terms: Public domain W3C validator