MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimtopon Structured version   Unicode version

Theorem flimtopon 20655
Description: Reverse closure for the limit point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimtopon  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem flimtopon
StepHypRef Expression
1 flimtop 20650 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 19610 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 904 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65flimfil 20654 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5805 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2472 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 20566 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 20566 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2404 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 191 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 253 1  |-  ( A  e.  ( J  fLim  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   U.cuni 4190   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Topctop 19578  TopOnctopon 19579   Filcfil 20530    fLim cflim 20619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-fbas 18628  df-top 19583  df-topon 19586  df-nei 19784  df-fil 20531  df-flim 20624
This theorem is referenced by:  fclsfnflim  20712
  Copyright terms: Public domain W3C validator