Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimss1 Structured version   Unicode version

Theorem flimss1 20986
 Description: A limit point of a filter is a limit point in a coarser topology. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimss1 TopOn

Proof of Theorem flimss1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . . . . . 7
21flimelbas 20981 . . . . . 6
32adantl 467 . . . . 5 TopOn
4 simpl2 1009 . . . . . . 7 TopOn
5 filunibas 20894 . . . . . . 7
64, 5syl 17 . . . . . 6 TopOn
71flimfil 20982 . . . . . . . 8
87adantl 467 . . . . . . 7 TopOn
9 filunibas 20894 . . . . . . 7
108, 9syl 17 . . . . . 6 TopOn
116, 10eqtr3d 2465 . . . . 5 TopOn
123, 11eleqtrrd 2510 . . . 4 TopOn
13 simpl1 1008 . . . . . . 7 TopOn TopOn
14 topontop 19939 . . . . . . 7 TopOn
1513, 14syl 17 . . . . . 6 TopOn
16 flimtop 20978 . . . . . . 7
1716adantl 467 . . . . . 6 TopOn
18 toponuni 19940 . . . . . . . 8 TopOn
1913, 18syl 17 . . . . . . 7 TopOn
2019, 11eqtr3d 2465 . . . . . 6 TopOn
21 simpl3 1010 . . . . . 6 TopOn
22 eqid 2422 . . . . . . 7
2322, 1topssnei 20138 . . . . . 6
2415, 17, 20, 21, 23syl31anc 1267 . . . . 5 TopOn
25 flimneiss 20979 . . . . . 6
2625adantl 467 . . . . 5 TopOn
2724, 26sstrd 3474 . . . 4 TopOn
28 elflim 20984 . . . . 5 TopOn
2913, 4, 28syl2anc 665 . . . 4 TopOn
3012, 27, 29mpbir2and 930 . . 3 TopOn
3130ex 435 . 2 TopOn
3231ssrdv 3470 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wss 3436  csn 3998  cuni 4219  cfv 5601  (class class class)co 6305  ctop 19915  TopOnctopon 19916  cnei 20111  cfil 20858   cflim 20947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-fbas 18966  df-top 19919  df-topon 19921  df-ntr 20033  df-nei 20112  df-fil 20859  df-flim 20952 This theorem is referenced by:  flimcf  20995
 Copyright terms: Public domain W3C validator