Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimsncls Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem flimsncls 21001
 Description: If is a limit point of the filter , then all the points which specialize (in the specialization preorder) are also limit points. Thus, the set of limit points is a union of closed sets (although this is only nontrivial for non-T1 spaces). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimsncls

Proof of Theorem flimsncls
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flimtop 20980 . . . . . 6
2 eqid 2451 . . . . . . . 8
32flimelbas 20983 . . . . . . 7
43snssd 4117 . . . . . 6
52clsss3 20074 . . . . . 6
61, 4, 5syl2anc 667 . . . . 5
76sselda 3432 . . . 4
8 simpll 760 . . . . . . 7
98, 1syl 17 . . . . . . . 8
10 simprl 764 . . . . . . . 8
111adantr 467 . . . . . . . . . 10
124adantr 467 . . . . . . . . . 10
13 simpr 463 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 133jca 1188 . . . . . . . . 9
152clsndisj 20091 . . . . . . . . . 10
16 disjsn 4032 . . . . . . . . . . 11
1716necon2abii 2674 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylibr 216 . . . . . . . . 9
1914, 18sylan 474 . . . . . . . 8
20 opnneip 20135 . . . . . . . 8
219, 10, 19, 20syl3anc 1268 . . . . . . 7
22 flimnei 20982 . . . . . . 7
238, 21, 22syl2anc 667 . . . . . 6
2423expr 620 . . . . 5
2524ralrimiva 2802 . . . 4
262toptopon 19948 . . . . . 6 TopOn
2711, 26sylib 200 . . . . 5 TopOn
282flimfil 20984 . . . . . 6
2928adantr 467 . . . . 5
30 flimopn 20990 . . . . 5 TopOn
3127, 29, 30syl2anc 667 . . . 4
327, 25, 31mpbir2and 933 . . 3
3332ex 436 . 2
3433ssrdv 3438 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wcel 1887   wne 2622  wral 2737   cin 3403   wss 3404  c0 3731  csn 3968  cuni 4198  cfv 5582  (class class class)co 6290  ctop 19917  TopOnctopon 19918  ccl 20033  cnei 20113  cfil 20860   cflim 20949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-fbas 18967  df-top 19921  df-topon 19923  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-fil 20861  df-flim 20954 This theorem is referenced by:  tsmscls  21152
 Copyright terms: Public domain W3C validator