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Theorem flimrest 20940
Description: The set of limit points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem flimrest
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 20809 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 1023 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 20119 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 20805 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 20796 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 20845 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 flimopn 20932 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
17 simpll2 1045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
18 simpll3 1046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  Y  e.  F )
19 elrestr 15270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F  /\  z  e.  F )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) )
20193expia 1207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
2117, 18, 20syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  -> 
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) )
22 trfilss 20846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2317, 18, 22syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  ( Ft  Y )  C_  F
)
2423sseld 3406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  ( z  i^i  Y )  e.  F
) )
25 inss1 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  Y )  C_  z
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  C_  z )
27 simpl1 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
28 toponss 19886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
2927, 28sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
30 filss 20810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  /\  z  C_  X  /\  (
z  i^i  Y )  C_  z ) )  -> 
z  e.  F )
31303exp2 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  ( z 
C_  X  ->  (
( z  i^i  Y
)  C_  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
3231com24 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
z  i^i  Y )  C_  z  ->  ( z  C_  X  ->  ( (
z  i^i  Y )  e.  F  ->  z  e.  F ) ) ) )
3317, 26, 29, 32syl3c 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  F  -> 
z  e.  F ) )
3424, 33syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y )  ->  z  e.  F ) )
3521, 34impbid 193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  e.  F  <->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
3635imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
( x  e.  z  ->  z  e.  F
)  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
3736ralbidva 2801 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y
)  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
38 simpl2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
393sselda 3407 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
40 flimopn 20932 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) ) )
4140baibd 917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
4227, 38, 39, 41syl21anc 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  z  e.  F ) ) )
43 vex 3025 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
4443inex1 4508 . . . . . . . 8  |-  ( z  i^i  Y )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  e.  J )  ->  (
z  i^i  Y )  e.  _V )
46 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  F )
47 elrest 15269 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
4827, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. z  e.  J  y  =  ( z  i^i  Y ) ) )
49 eleq2 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z  i^i  Y
) ) )
50 elin 3592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  z  /\  x  e.  Y ) )
5150rbaib 914 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5251adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( z  i^i  Y )  <->  x  e.  z ) )
5349, 52sylan9bbr 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
54 eleq1 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  i^i 
Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5554adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
y  e.  ( Ft  Y )  <->  ( z  i^i 
Y )  e.  ( Ft  Y ) ) )
5653, 55imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( z  i^i  Y
) )  ->  (
( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5745, 48, 56ralxfr2d 4580 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) )  <->  A. z  e.  J  ( x  e.  z  ->  ( z  i^i  Y )  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5837, 42, 573bitr4d 288 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  F )  <->  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) )
5958pm5.32da 645 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  y  e.  ( Ft  Y ) ) ) ) )
6016, 59bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F
) ) ) )
61 ancom 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
62 elin 3592 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fLim  F
)  /\  x  e.  Y ) )
6361, 62bitr4i 255 . . 3  |-  ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fLim  F ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
6460, 63syl6bb 264 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) ) )
6564eqrdv 2426 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fLim  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C_ wss 3379   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   ↾t crest 15262   fBascfbas 18901  TopOnctopon 19860   Filcfil 20802    fLim cflim 20891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fi 7878  df-rest 15264  df-topgen 15285  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-ntr 19977  df-nei 20056  df-fil 20803  df-flim 20896
This theorem is referenced by:  cmetss  22226  minveclem4a  22314  minveclem4aOLD  22326
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