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Theorem flimopn 20990
Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, J    x, X

Proof of Theorem flimopn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elflim 20986 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
) ) )
2 dfss3 3422 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) y  e.  F
)
3 topontop 19941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 opnneip 20135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
653expb 1209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x
) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
74, 6sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
8 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  F  <->  x  e.  F ) )
98rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
1110expr 620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A  e.  x  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) ) )
1211com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
1312ralrimdva 2806 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
14 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
153ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
16 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
17 toponuni 19942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1817ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1916, 18eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
2019snssd 4117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
21 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2221neii1 20122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  y  C_  U. J
)
234, 22sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  U. J )
2421neiint 20120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  y  C_  U. J
)  ->  ( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2515, 20, 23, 24syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2614, 25mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
)
27 snssg 4105 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2827ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
) )
2926, 28mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  y ) )
3021ntropn 20064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  J )
3115, 23, 30syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  e.  J )
32 eleq2 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  y )
) )
33 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F ) )
3432, 33imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3534rspcv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( int `  J
) `  y )  e.  J  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3631, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3729, 36mpid 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) )
38 simpllr 769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
3921ntrss2 20072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  C_  y )
4015, 23, 39syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  C_  y )
4123, 18sseqtr4d 3469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  X )
42 filss 20868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( int `  J
) `  y )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( ( int `  J ) `
 y )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
43423exp2 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  ( y 
C_  X  ->  (
( ( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
4443com24 90 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  ( y  C_  X  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  y  e.  F ) ) ) )
4538, 40, 41, 44syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F  -> 
y  e.  F ) )
4637, 45syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  y  e.  F ) )
4746ralrimdva 2806 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F ) )
4813, 47impbid 194 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
492, 48syl5bb 261 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )
) )
5049pm5.32da 647 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
)  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
511, 50bitrd 257 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   intcnt 20032   neicnei 20113   Filcfil 20860    fLim cflim 20949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-fbas 18967  df-top 19921  df-topon 19923  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-fil 20861  df-flim 20954
This theorem is referenced by:  fbflim  20991  flimrest  20998  flimsncls  21001  isflf  21008  cnpflfi  21014  flimfnfcls  21043  alexsublem  21059  cfilfcls  22244  iscmet3lem2  22262
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