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Theorem flimopn 19448
Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, J    x, X

Proof of Theorem flimopn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elflim 19444 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
) ) )
2 dfss3 3343 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) y  e.  F
)
3 topontop 18431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 opnneip 18623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
653expb 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x
) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
74, 6sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
8 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  F  <->  x  e.  F ) )
98rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
1110expr 612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A  e.  x  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) ) )
1211com23 78 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
1312ralrimdva 2804 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
14 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
153ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
16 simplr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
17 toponuni 18432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1817ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1916, 18eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
2019snssd 4015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
21 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2221neii1 18610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  y  C_  U. J
)
234, 22sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  U. J )
2421neiint 18608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  y  C_  U. J
)  ->  ( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2515, 20, 23, 24syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2614, 25mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
)
27 snssg 4004 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2827ad2antlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
) )
2926, 28mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  y ) )
3021ntropn 18553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  J )
3115, 23, 30syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  e.  J )
32 eleq2 2502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  y )
) )
33 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F ) )
3432, 33imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3534rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( int `  J
) `  y )  e.  J  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3631, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3729, 36mpid 41 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) )
38 simpllr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
3921ntrss2 18561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  C_  y )
4015, 23, 39syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  C_  y )
4123, 18sseqtr4d 3390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  X )
42 filss 19326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( int `  J
) `  y )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( ( int `  J ) `
 y )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
43423exp2 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  ( y 
C_  X  ->  (
( ( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
4443com24 87 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  ( y  C_  X  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  y  e.  F ) ) ) )
4538, 40, 41, 44syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F  -> 
y  e.  F ) )
4637, 45syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  y  e.  F ) )
4746ralrimdva 2804 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F ) )
4813, 47impbid 191 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
492, 48syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )
) )
5049pm5.32da 636 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
)  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
511, 50bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   intcnt 18521   neicnei 18601   Filcfil 19318    fLim cflim 19407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-fbas 17714  df-top 18403  df-topon 18406  df-ntr 18524  df-nei 18602  df-fil 19319  df-flim 19412
This theorem is referenced by:  fbflim  19449  flimrest  19456  flimsncls  19459  isflf  19466  cnpflfi  19472  flimfnfcls  19501  alexsublem  19516  cfilfcls  20685  iscmet3lem2  20703
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