Theorem flimopn 20977

Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimopn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, J   x, X

Proof of Theorem flimopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elflim 20973	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
2		dfss3 3454	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F )
3		topontop 19928	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		opnneip 20122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ A e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6	5	3expb 1206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
7	4, 6	sylan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
8		eleq1 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y e. F <-> x e. F ) )
9	8	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
11	10	expr 618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A e. x -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) ) )
12	11	com23 81	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> ( A e. x -> x e. F ) ) )
13	12	ralrimdva 2843	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
14		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
15	3	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
16		simplr 760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
17		toponuni 19929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
18	17	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
19	16, 18	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
20	19	snssd 4142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
21		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
22	21	neii1 20109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
23	4, 22	sylan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
24	21	neiint 20107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ y C_ U. J ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
26	14, 25	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) )
27		snssg 4130	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
28	27	ad2antlr 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
29	26, 28	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` y ) )
30	21	ntropn 20051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
31	15, 23, 30	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
32		eleq2 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( A e. x <-> A e. ( ( int ` J ) ` y ) ) )
33		eleq1 2494	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( x e. F <-> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
34	32, 33	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( A e. x -> x e. F ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
35	34	rspcv 3178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( int ` J ) ` y ) e. J -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
37	29, 36	mpid 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
38		simpllr 767	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
39	21	ntrss2 20059	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
40	15, 23, 39	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
41	23, 18	sseqtr4d 3501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ X )
42		filss 20855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F /\ y C_ X /\ ( ( int ` J ) ` y ) C_ y ) ) -> y e. F )
43	42	3exp2 1223	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> y e. F ) ) ) )
44	43	com24 90	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) ) ) )
45	38, 40, 41, 44	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) )
46	37, 45	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> y e. F ) )
47	46	ralrimdva 2843	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F ) )
48	13, 47	impbid 193	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
49	2, 48	syl5bb 260	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
50	49	pm5.32da 645	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )
51	1, 50	bitrd 256	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   C_ wss 3436   {csn 3996   U.cuni 4216   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   intcnt 20019   neicnei 20100   Filcfil 20847   fLim cflim 20936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-fbas 18955  df-top 19908  df-topon 19910  df-ntr 20022  df-nei 20101  df-fil 20848  df-flim 20941

This theorem is referenced by:  fbflim  20978  flimrest  20985  flimsncls  20988  isflf  20995  cnpflfi  21001  flimfnfcls  21030  alexsublem  21046  cfilfcls  22231  iscmet3lem2  22249