Theorem flimopn 20990

Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimopn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, J   x, X

Proof of Theorem flimopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elflim 20986	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
2		dfss3 3422	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F )
3		topontop 19941	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		opnneip 20135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ A e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6	5	3expb 1209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
7	4, 6	sylan 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
8		eleq1 2517	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y e. F <-> x e. F ) )
9	8	rspcv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
11	10	expr 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A e. x -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) ) )
12	11	com23 81	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> ( A e. x -> x e. F ) ) )
13	12	ralrimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
14		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
15	3	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
16		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
17		toponuni 19942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
18	17	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
19	16, 18	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
20	19	snssd 4117	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
21		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
22	21	neii1 20122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
23	4, 22	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
24	21	neiint 20120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ y C_ U. J ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
26	14, 25	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) )
27		snssg 4105	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
28	27	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
29	26, 28	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` y ) )
30	21	ntropn 20064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
31	15, 23, 30	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
32		eleq2 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( A e. x <-> A e. ( ( int ` J ) ` y ) ) )
33		eleq1 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( x e. F <-> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
34	32, 33	imbi12d 322	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( A e. x -> x e. F ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
35	34	rspcv 3146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( int ` J ) ` y ) e. J -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
36	31, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
37	29, 36	mpid 42	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
38		simpllr 769	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
39	21	ntrss2 20072	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
40	15, 23, 39	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
41	23, 18	sseqtr4d 3469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ X )
42		filss 20868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F /\ y C_ X /\ ( ( int ` J ) ` y ) C_ y ) ) -> y e. F )
43	42	3exp2 1227	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> y e. F ) ) ) )
44	43	com24 90	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) ) ) )
45	38, 40, 41, 44	syl3c 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) )
46	37, 45	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> y e. F ) )
47	46	ralrimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F ) )
48	13, 47	impbid 194	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
49	2, 48	syl5bb 261	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
50	49	pm5.32da 647	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )
51	1, 50	bitrd 257	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   C_ wss 3404   {csn 3968   U.cuni 4198   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   intcnt 20032   neicnei 20113   Filcfil 20860   fLim cflim 20949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-fbas 18967  df-top 19921  df-topon 19923  df-ntr 20035  df-nei 20114  df-fil 20861  df-flim 20954

This theorem is referenced by:  fbflim  20991  flimrest  20998  flimsncls  21001  isflf  21008  cnpflfi  21014  flimfnfcls  21043  alexsublem  21059  cfilfcls  22244  iscmet3lem2  22262