Theorem flimopn 19448

Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimopn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, J   x, X

Proof of Theorem flimopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elflim 19444	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
2		dfss3 3343	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F )
3		topontop 18431	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		opnneip 18623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ A e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6	5	3expb 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
7	4, 6	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
8		eleq1 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y e. F <-> x e. F ) )
9	8	rspcv 3066	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
10	7, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
11	10	expr 612	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A e. x -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) ) )
12	11	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> ( A e. x -> x e. F ) ) )
13	12	ralrimdva 2804	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
14		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
15	3	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
16		simplr 749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
17		toponuni 18432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
18	17	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
19	16, 18	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
20	19	snssd 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
22	21	neii1 18610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
23	4, 22	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
24	21	neiint 18608	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ y C_ U. J ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
26	14, 25	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) )
27		snssg 4004	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
28	27	ad2antlr 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
29	26, 28	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` y ) )
30	21	ntropn 18553	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
31	15, 23, 30	syl2anc 656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
32		eleq2 2502	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( A e. x <-> A e. ( ( int ` J ) ` y ) ) )
33		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( x e. F <-> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
34	32, 33	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( A e. x -> x e. F ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
35	34	rspcv 3066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( int ` J ) ` y ) e. J -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
36	31, 35	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
37	29, 36	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
38		simpllr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
39	21	ntrss2 18561	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
40	15, 23, 39	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
41	23, 18	sseqtr4d 3390	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ X )
42		filss 19326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F /\ y C_ X /\ ( ( int ` J ) ` y ) C_ y ) ) -> y e. F )
43	42	3exp2 1200	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> y e. F ) ) ) )
44	43	com24 87	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) ) ) )
45	38, 40, 41, 44	syl3c 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) )
46	37, 45	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> y e. F ) )
47	46	ralrimdva 2804	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F ) )
48	13, 47	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
49	2, 48	syl5bb 257	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
50	49	pm5.32da 636	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )
51	1, 50	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   C_ wss 3325   {csn 3874   U.cuni 4088   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   intcnt 18521   neicnei 18601   Filcfil 19318   fLim cflim 19407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-fbas 17714  df-top 18403  df-topon 18406  df-ntr 18524  df-nei 18602  df-fil 19319  df-flim 19412

This theorem is referenced by:  fbflim  19449  flimrest  19456  flimsncls  19459  isflf  19466  cnpflfi  19472  flimfnfcls  19501  alexsublem  19516  cfilfcls  20685  iscmet3lem2  20703