Theorem flimopn 20239

Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flimopn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, J   x, X

Proof of Theorem flimopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elflim 20235	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
2		dfss3 3494	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F )
3		topontop 19222	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> J e. Top )
5		opnneip 19414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ A e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
6	5	3expb 1197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
7	4, 6	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
8		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y e. F <-> x e. F ) )
9	8	rspcv 3210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
10	7, 9	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) )
11	10	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A e. x -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> x e. F ) ) )
12	11	com23 78	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ x e. J ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> ( A e. x -> x e. F ) ) )
13	12	ralrimdva 2882	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F -> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
14		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) )
15	3	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> J e. Top )
16		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. X )
17		toponuni 19223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
18	17	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> X = U. J )
19	16, 18	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. U. J )
20	19	snssd 4172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ U. J )
21		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. J = U. J
22	21	neii1 19401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
23	4, 22	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ U. J )
24	21	neiint 19399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { A } C_ U. J /\ y C_ U. J ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
25	15, 20, 23, 24	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
26	14, 25	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) )
27		snssg 4160	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
28	27	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) <-> { A } C_ ( ( int ` J ) ` y ) ) )
29	26, 28	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A e. ( ( int ` J ) ` y ) )
30	21	ntropn 19344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
31	15, 23, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. J )
32		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( A e. x <-> A e. ( ( int ` J ) ` y ) ) )
33		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( x e. F <-> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
34	32, 33	imbi12d 320	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( A e. x -> x e. F ) <-> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
35	34	rspcv 3210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( int ` J ) ` y ) e. J -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
36	31, 35	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( A e. ( ( int ` J ) ` y ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) ) )
37	29, 36	mpid 41	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> ( ( int ` J ) ` y ) e. F ) )
38		simpllr 758	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
39	21	ntrss2 19352	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ y C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
40	15, 23, 39	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( int ` J ) ` y ) C_ y )
41	23, 18	sseqtr4d 3541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> y C_ X )
42		filss 20117	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F /\ y C_ X /\ ( ( int ` J ) ` y ) C_ y ) ) -> y e. F )
43	42	3exp2 1214	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> y e. F ) ) ) )
44	43	com24 87	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) C_ y -> ( y C_ X -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) ) ) )
45	38, 40, 41, 44	syl3c 61	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` y ) e. F -> y e. F ) )
46	37, 45	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> y e. F ) )
47	46	ralrimdva 2882	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) -> A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F ) )
48	13, 47	impbid 191	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. y e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) y e. F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
49	2, 48	syl5bb 257	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F <-> A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) )
50	49	pm5.32da 641	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )
51	1, 50	bitrd 253	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ A. x e. J ( A e. x -> x e. F ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   intcnt 19312   neicnei 19392   Filcfil 20109   fLim cflim 20198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-fbas 18215  df-top 19194  df-topon 19197  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-fil 20110  df-flim 20203

This theorem is referenced by:  fbflim  20240  flimrest  20247  flimsncls  20250  isflf  20257  cnpflfi  20263  flimfnfcls  20292  alexsublem  20307  cfilfcls  21476  iscmet3lem2  21494