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Theorem flimopn 20977
Description: The condition for being a limit point of a filter still holds if one only considers open neighborhoods. (Contributed by Jeff Hankins, 4-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimopn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, J    x, X

Proof of Theorem flimopn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elflim 20973 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
) ) )
2 dfss3 3454 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) y  e.  F
)
3 topontop 19928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
43ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 opnneip 20122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  A  e.  x )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
653expb 1206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x
) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )
74, 6sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  ->  x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )
8 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  F  <->  x  e.  F ) )
98rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
107, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  ( x  e.  J  /\  A  e.  x ) )  -> 
( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) )
1110expr 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A  e.  x  ->  ( A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  x  e.  F ) ) )
1211com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  x  e.  J )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
1312ralrimdva 2843 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  ->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
14 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  e.  ( ( nei `  J ) `
 { A }
) )
153ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  J  e.  Top )
16 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  X )
17 toponuni 19929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1817ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  X  =  U. J )
1916, 18eleqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  U. J )
2019snssd 4142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  U. J
)
21 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2221neii1 20109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ( ( nei `  J ) `  { A } ) )  ->  y  C_  U. J
)
234, 22sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  U. J )
2421neiint 20107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { A }  C_  U. J  /\  y  C_  U. J
)  ->  ( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2515, 20, 23, 24syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2614, 25mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
)
27 snssg 4130 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  <->  { A }  C_  ( ( int `  J ) `  y
) ) )
2827ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  <->  { A }  C_  (
( int `  J
) `  y )
) )
2926, 28mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  A  e.  ( ( int `  J ) `  y ) )
3021ntropn 20051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  J )
3115, 23, 30syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  e.  J )
32 eleq2 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  (
( int `  J
) `  y )
) )
33 eleq1 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( x  e.  F  <->  ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F ) )
3432, 33imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( int `  J ) `  y
)  ->  ( ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  <->  ( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3534rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( int `  J
) `  y )  e.  J  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  -> 
( A  e.  ( ( int `  J
) `  y )  ->  ( ( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3631, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  ( A  e.  ( ( int `  J ) `  y )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) ) )
3729, 36mpid 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  (
( int `  J
) `  y )  e.  F ) )
38 simpllr 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
3921ntrss2 20059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  U. J )  ->  ( ( int `  J ) `  y
)  C_  y )
4015, 23, 39syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( int `  J
) `  y )  C_  y )
4123, 18sseqtr4d 3501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
y  C_  X )
42 filss 20855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( int `  J
) `  y )  e.  F  /\  y  C_  X  /\  ( ( int `  J ) `
 y )  C_  y ) )  -> 
y  e.  F )
43423exp2 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  ( y 
C_  X  ->  (
( ( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  y  e.  F ) ) ) )
4443com24 90 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  C_  y  ->  ( y  C_  X  ->  ( (
( int `  J
) `  y )  e.  F  ->  y  e.  F ) ) ) )
4538, 40, 41, 44syl3c 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( ( ( int `  J ) `  y
)  e.  F  -> 
y  e.  F ) )
4637, 45syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  A  e.  X
)  /\  y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  y  e.  F ) )
4746ralrimdva 2843 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( ( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F ) )
4813, 47impbid 193 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. y  e.  (
( nei `  J
) `  { A } ) y  e.  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) )
492, 48syl5bb 260 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F )
) )
5049pm5.32da 645 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
( A  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { A } )  C_  F
)  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
511, 50bitrd 256 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. x  e.  J  ( A  e.  x  ->  x  e.  F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775    C_ wss 3436   {csn 3996   U.cuni 4216   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   Topctop 19904  TopOnctopon 19905   intcnt 20019   neicnei 20100   Filcfil 20847    fLim cflim 20936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-fbas 18955  df-top 19908  df-topon 19910  df-ntr 20022  df-nei 20101  df-fil 20848  df-flim 20941
This theorem is referenced by:  fbflim  20978  flimrest  20985  flimsncls  20988  isflf  20995  cnpflfi  21001  flimfnfcls  21030  alexsublem  21046  cfilfcls  22231  iscmet3lem2  22249
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