Theorem flimclslem 20236

Description: Lemma for flimcls 20237. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flimcls.2	|- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
flimclslem	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Proof of Theorem flimclslem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flimcls.2	. . 3 |- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
2		topontop 19210	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3	2	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
5	4	neisspw 19390	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
6	3, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7		toponuni 19211	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X = U. J )
9	8	pweqd 4015	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ~P X = ~P U. J )
10	6, 9	sseqtr4d 3541	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
11		toponmax 19212	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
12		elpw2g 4610	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. J -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
14	13	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S e. ~P X )
15	14	3adant3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ~P X )
16	15	snssd 4172	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } C_ ~P X )
17	10, 16	unssd 3680	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X )
18		ssun2 3668	. . . . . 6 |- { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } )
19	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X e. J )
20		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
21	19, 20	ssexd 4594	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. _V )
22		snnzg 4144	. . . . . . 7 |- ( S e. _V -> { S } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } =/= (/) )
24		ssn0 3818	. . . . . 6 |- ( ( { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) /\ { S } =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
25	18, 23, 24	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
26	20, 8	sseqtrd 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
27		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
28	4	neindisj 19400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29	28	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	3, 26, 27, 29	syl21anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
32		elsni 4052	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { S } -> y = S )
33	32	ineq2d 3700	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { S } -> ( x i^i y ) = ( x i^i S ) )
34	33	neeq1d 2744	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { S } -> ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
35	31, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. { S } -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
36	35	ralrimiv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
37	36	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
38		simp1 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39	4	clsss3 19342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
40	3, 26, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
41	40, 27	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. U. J )
42	41, 8	eleqtrrd 2558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. X )
43	42	snssd 4172	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } C_ X )
44		snnzg 4144	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> { A } =/= (/) )
45	44	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } =/= (/) )
46		neifil 20132	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47	38, 43, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
48		filfbas 20100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
50		ne0i 3791	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
51	50	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
52		cls0 19363	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
53	3, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
54	51, 53	neeqtrrd 2767	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
55		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
56	55	necon3i 2707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) -> S =/= (/) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S =/= (/) )
58		snfbas 20118	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ X e. J ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
59	20, 57, 19, 58	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
60		fbunfip 20121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) /\ { S } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
62	37, 61	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
63		fsubbas 20119	. . . . . 6 |- ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
64	19, 63	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
65	17, 25, 62, 64	mpbir3and 1179	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) )
66		fgcl 20130	. . . 4 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
67	65, 66	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
68	1, 67	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
69		fvex 5875	. . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
70		snex 4688	. . . . . 6 |- { S } e. _V
71	69, 70	unex 6581	. . . . 5 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V
72		ssfii 7878	. . . . 5 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
74		ssfg 20124	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
75	65, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
76	75, 1	syl6sseqr 3551	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ F )
77	73, 76	syl5ss 3515	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ F )
78		snssg 4160	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
79	21, 78	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
80	18, 79	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
81	77, 80	sseldd 3505	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. F )
82	77	unssad 3681	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F )
83		elflim 20223	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
84	38, 68, 83	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
85	42, 82, 84	mpbir2and 920	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( J fLim F ) )
86	68, 81, 85	3jca 1176	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   ficfi 7869   fBascfbas 18193   filGencfg 18194   Topctop 19177  TopOnctopon 19178   clsccl 19301   neicnei 19380   Filcfil 20097   fLim cflim 20186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7870  df-fbas 18203  df-fg 18204  df-top 19182  df-topon 19185  df-cld 19302  df-ntr 19303  df-cls 19304  df-nei 19381  df-fil 20098  df-flim 20191

This theorem is referenced by:  flimcls  20237