Theorem flimclslem 19557

Description: Lemma for flimcls 19558. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flimcls.2	|- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
flimclslem	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Proof of Theorem flimclslem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flimcls.2	. . 3 |- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
2		topontop 18531	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3	2	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
5	4	neisspw 18711	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
6	3, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7		toponuni 18532	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X = U. J )
9	8	pweqd 3865	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ~P X = ~P U. J )
10	6, 9	sseqtr4d 3393	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
11		toponmax 18533	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
12		elpw2g 4455	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. J -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
14	13	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S e. ~P X )
15	14	3adant3 1008	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ~P X )
16	15	snssd 4018	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } C_ ~P X )
17	10, 16	unssd 3532	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X )
18		ssun2 3520	. . . . . 6 |- { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } )
19	11	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X e. J )
20		simp2 989	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
21	19, 20	ssexd 4439	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. _V )
22		snnzg 3992	. . . . . . 7 |- ( S e. _V -> { S } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } =/= (/) )
24		ssn0 3670	. . . . . 6 |- ( ( { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) /\ { S } =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
25	18, 23, 24	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
26	20, 8	sseqtrd 3392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
27		simp3 990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
28	4	neindisj 18721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29	28	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	3, 26, 27, 29	syl21anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
32		elsni 3902	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { S } -> y = S )
33	32	ineq2d 3552	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { S } -> ( x i^i y ) = ( x i^i S ) )
34	33	neeq1d 2621	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { S } -> ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
35	31, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. { S } -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
36	35	ralrimiv 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
37	36	ralrimiva 2799	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
38		simp1 988	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39	4	clsss3 18663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
40	3, 26, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
41	40, 27	sseldd 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. U. J )
42	41, 8	eleqtrrd 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. X )
43	42	snssd 4018	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } C_ X )
44		snnzg 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> { A } =/= (/) )
45	44	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } =/= (/) )
46		neifil 19453	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47	38, 43, 45, 46	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
48		filfbas 19421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
50		ne0i 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
51	50	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
52		cls0 18684	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
53	3, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
54	51, 53	neeqtrrd 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
55		fveq2 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
56	55	necon3i 2650	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) -> S =/= (/) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S =/= (/) )
58		snfbas 19439	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ X e. J ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
59	20, 57, 19, 58	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
60		fbunfip 19442	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) /\ { S } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
62	37, 61	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
63		fsubbas 19440	. . . . . 6 |- ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
64	19, 63	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
65	17, 25, 62, 64	mpbir3and 1171	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) )
66		fgcl 19451	. . . 4 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
67	65, 66	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
68	1, 67	syl5eqel 2527	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
69		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
70		snex 4533	. . . . . 6 |- { S } e. _V
71	69, 70	unex 6378	. . . . 5 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V
72		ssfii 7669	. . . . 5 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
74		ssfg 19445	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
75	65, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
76	75, 1	syl6sseqr 3403	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ F )
77	73, 76	syl5ss 3367	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ F )
78		snssg 4007	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
79	21, 78	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
80	18, 79	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
81	77, 80	sseldd 3357	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. F )
82	77	unssad 3533	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F )
83		elflim 19544	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
84	38, 68, 83	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
85	42, 82, 84	mpbir2and 913	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( J fLim F ) )
86	68, 81, 85	3jca 1168	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972   u. cun 3326   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ficfi 7660   fBascfbas 17804   filGencfg 17805   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   clsccl 18622   neicnei 18701   Filcfil 19418   fLim cflim 19507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625  df-nei 18702  df-fil 19419  df-flim 19512

This theorem is referenced by:  flimcls  19558