Theorem flimclslem 20611

Description: Lemma for flimcls 20612. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flimcls.2	|- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
flimclslem	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Proof of Theorem flimclslem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flimcls.2	. . 3 |- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
2		topontop 19554	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3	2	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
5	4	neisspw 19735	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
6	3, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7		toponuni 19555	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X = U. J )
9	8	pweqd 4020	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ~P X = ~P U. J )
10	6, 9	sseqtr4d 3536	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
11		toponmax 19556	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
12		elpw2g 4619	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. J -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
14	13	biimpar 485	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S e. ~P X )
15	14	3adant3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ~P X )
16	15	snssd 4177	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } C_ ~P X )
17	10, 16	unssd 3676	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X )
18		ssun2 3664	. . . . . 6 |- { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } )
19	11	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X e. J )
20		simp2 997	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
21	19, 20	ssexd 4603	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. _V )
22		snnzg 4149	. . . . . . 7 |- ( S e. _V -> { S } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } =/= (/) )
24		ssn0 3827	. . . . . 6 |- ( ( { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) /\ { S } =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
25	18, 23, 24	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
26	20, 8	sseqtrd 3535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
27		simp3 998	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
28	4	neindisj 19745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29	28	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	3, 26, 27, 29	syl21anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
32		elsni 4057	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { S } -> y = S )
33	32	ineq2d 3696	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { S } -> ( x i^i y ) = ( x i^i S ) )
34	33	neeq1d 2734	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { S } -> ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
35	31, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. { S } -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
36	35	ralrimiv 2869	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
37	36	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
38		simp1 996	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39	4	clsss3 19687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
40	3, 26, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
41	40, 27	sseldd 3500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. U. J )
42	41, 8	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. X )
43	42	snssd 4177	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } C_ X )
44		snnzg 4149	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> { A } =/= (/) )
45	44	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } =/= (/) )
46		neifil 20507	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47	38, 43, 45, 46	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
48		filfbas 20475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
50		ne0i 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
51	50	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
52		cls0 19708	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
53	3, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
54	51, 53	neeqtrrd 2757	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
55		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
56	55	necon3i 2697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) -> S =/= (/) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S =/= (/) )
58		snfbas 20493	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ X e. J ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
59	20, 57, 19, 58	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
60		fbunfip 20496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) /\ { S } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
62	37, 61	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
63		fsubbas 20494	. . . . . 6 |- ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
64	19, 63	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
65	17, 25, 62, 64	mpbir3and 1179	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) )
66		fgcl 20505	. . . 4 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
67	65, 66	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
68	1, 67	syl5eqel 2549	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
69		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
70		snex 4697	. . . . . 6 |- { S } e. _V
71	69, 70	unex 6597	. . . . 5 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V
72		ssfii 7897	. . . . 5 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
74		ssfg 20499	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
75	65, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
76	75, 1	syl6sseqr 3546	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ F )
77	73, 76	syl5ss 3510	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ F )
78		snssg 4165	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
79	21, 78	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
80	18, 79	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
81	77, 80	sseldd 3500	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. F )
82	77	unssad 3677	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F )
83		elflim 20598	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
84	38, 68, 83	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
85	42, 82, 84	mpbir2and 922	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( J fLim F ) )
86	68, 81, 85	3jca 1176	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ficfi 7888   fBascfbas 18533   filGencfg 18534   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646   neicnei 19725   Filcfil 20472   fLim cflim 20561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-fil 20473  df-flim 20566

This theorem is referenced by:  flimcls  20612