Theorem flimclslem 19516

Description: Lemma for flimcls 19517. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
flimcls.2	|- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
flimclslem	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Proof of Theorem flimclslem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flimcls.2	. . 3 |- F = ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
2		topontop 18490	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3	2	3ad2ant1 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. Top )
4		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
5	4	neisspw 18670	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
6	3, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P U. J )
7		toponuni 18491	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
8	7	3ad2ant1 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X = U. J )
9	8	pweqd 3862	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ~P X = ~P U. J )
10	6, 9	sseqtr4d 3390	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ ~P X )
11		toponmax 18492	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X e. J )
12		elpw2g 4452	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. J -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( S e. ~P X <-> S C_ X ) )
14	13	biimpar 482	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X ) -> S e. ~P X )
15	14	3adant3 1003	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ~P X )
16	15	snssd 4015	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } C_ ~P X )
17	10, 16	unssd 3529	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X )
18		ssun2 3517	. . . . . 6 |- { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } )
19	11	3ad2ant1 1004	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> X e. J )
20		simp2 984	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ X )
21	19, 20	ssexd 4436	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. _V )
22		snnzg 3989	. . . . . . 7 |- ( S e. _V -> { S } =/= (/) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } =/= (/) )
24		ssn0 3667	. . . . . 6 |- ( ( { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) /\ { S } =/= (/) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
25	18, 23, 24	sylancr 658	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) )
26	20, 8	sseqtrd 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S C_ U. J )
27		simp3 985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( ( cls ` J ) ` S ) )
28	4	neindisj 18680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
29	28	expr 612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
30	3, 26, 27, 29	syl21anc 1212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) -> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( x i^i S ) =/= (/) )
32		elsni 3899	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { S } -> y = S )
33	32	ineq2d 3549	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. { S } -> ( x i^i y ) = ( x i^i S ) )
34	33	neeq1d 2619	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { S } -> ( ( x i^i y ) =/= (/) <-> ( x i^i S ) =/= (/) ) )
35	31, 34	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> ( y e. { S } -> ( x i^i y ) =/= (/) ) )
36	35	ralrimiv 2796	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) ) -> A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
37	36	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) )
38		simp1 983	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39	4	clsss3 18622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
40	3, 26, 39	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) C_ U. J )
41	40, 27	sseldd 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. U. J )
42	41, 8	eleqtrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. X )
43	42	snssd 4015	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } C_ X )
44		snnzg 3989	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> { A } =/= (/) )
45	44	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { A } =/= (/) )
46		neifil 19412	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ { A } C_ X /\ { A } =/= (/) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
47	38, 43, 45, 46	syl3anc 1213	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) )
48		filfbas 19380	. . . . . . . 8 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( Fil ` X ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) )
50		ne0i 3640	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( cls ` J ) ` S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
51	50	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= (/) )
52		cls0 18643	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
53	3, 52	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` (/) ) = (/) )
54	51, 53	neeqtrrd 2630	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
55		fveq2 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( ( cls ` J ) ` (/) ) )
56	55	necon3i 2648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( cls ` J ) ` S ) =/= ( ( cls ` J ) ` (/) ) -> S =/= (/) )
57	54, 56	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S =/= (/) )
58		snfbas 19398	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ X /\ S =/= (/) /\ X e. J ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
59	20, 57, 19, 58	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> { S } e. ( fBas ` X ) )
60		fbunfip 19401	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. ( fBas ` X ) /\ { S } e. ( fBas ` X ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) <-> A. x e. ( ( nei ` J ) ` { A } ) A. y e. { S } ( x i^i y ) =/= (/) ) )
62	37, 61	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
63		fsubbas 19399	. . . . . 6 |- ( X e. J -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
64	19, 63	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) <-> ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ~P X /\ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) =/= (/) /\ -. (/) e. ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) ) )
65	17, 25, 62, 64	mpbir3and 1166	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) )
66		fgcl 19410	. . . 4 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
67	65, 66	syl 16	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) e. ( Fil ` X ) )
68	1, 67	syl5eqel 2525	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
69		fvex 5698	. . . . . 6 |- ( ( nei ` J ) ` { A } ) e. _V
70		snex 4530	. . . . . 6 |- { S } e. _V
71	69, 70	unex 6377	. . . . 5 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V
72		ssfii 7665	. . . . 5 |- ( ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) e. _V -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
73	71, 72	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
74		ssfg 19404	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) e. ( fBas ` X ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
75	65, 74	syl 16	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ ( X filGen ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) ) )
76	75, 1	syl6sseqr 3400	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( fi ` ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) C_ F )
77	73, 76	syl5ss 3364	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) C_ F )
78		snssg 4004	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
79	21, 78	syl 16	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) <-> { S } C_ ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) ) )
80	18, 79	mpbiri 233	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. ( ( ( nei ` J ) ` { A } ) u. { S } ) )
81	77, 80	sseldd 3354	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> S e. F )
82	77	unssad 3530	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F )
83		elflim 19503	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
84	38, 68, 83	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( A e. ( J fLim F ) <-> ( A e. X /\ ( ( nei ` J ) ` { A } ) C_ F ) ) )
85	42, 82, 84	mpbir2and 908	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> A e. ( J fLim F ) )
86	68, 81, 85	3jca 1163	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ S C_ X /\ A e. ( ( cls ` J ) ` S ) ) -> ( F e. ( Fil ` X ) /\ S e. F /\ A e. ( J fLim F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   u. cun 3323   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ficfi 7656   fBascfbas 17763   filGencfg 17764   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   clsccl 18581   neicnei 18660   Filcfil 19377   fLim cflim 19466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-fil 19378  df-flim 19471

This theorem is referenced by:  flimcls  19517