Theorem flimcls 15588

Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
flimcls.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
flimcls	|- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (A e. ((cls` J)` S) <-> E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f))))

Distinct variable groups:   A,f   f,J   S,f   f,X

Proof of Theorem flimcls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 4689	. . . . . . . 8 |- ((nei` J)` {A}) e. _V
2		snex 3492	. . . . . . . 8 |- {S} e. _V
3	1, 2	unex 3796	. . . . . . 7 |- (((nei` J)` {A}) u. {S}) e. _V
4		fsubbas 10281	. . . . . . 7 |- ((((nei` J)` {A}) u. {S}) e. _V -> (( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas <-> ((((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas <-> ((((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
6		ssexg 3457	. . . . . . . . . . 11 |- ((S C_ X /\ X e. _V) -> S e. _V)
7		uniexg 3795	. . . . . . . . . . . 12 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
8		flimcls.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = U.J
9	7, 8	syl5eqel 1975	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. Top -> X e. _V)
10	6, 9	sylan2 500	. . . . . . . . . 10 |- ((S C_ X /\ J e. Top) -> S e. _V)
11	10	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S e. _V)
12		snnzg 3118	. . . . . . . . 9 |- (S e. _V -> {S} =/= (/))
13		ssun2 2768	. . . . . . . . . 10 |- {S} C_ (((nei` J)` {A}) u. {S})
14		ssn0 2905	. . . . . . . . . 10 |- (({S} C_ (((nei` J)` {A}) u. {S}) /\ {S} =/= (/)) -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/))
15	13, 14	mpan 759	. . . . . . . . 9 |- ({S} =/= (/) -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/))
16	11, 12, 15	3syl 24	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/))
17	16	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/))
18	17	adantr 425	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) =/= (/))
19		ineq2 2790	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = S -> (x i^i y) = (x i^i S))
20	19	neeq1d 2028	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = S -> ((x i^i y) =/= (/) <-> (x i^i S) =/= (/)))
21	8	neindisj 9007	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ (A e. ((cls` J)` S) /\ x e. ((nei` J)` {A}))) -> (x i^i S) =/= (/))
22	21	3adantl3 1034	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ (A e. ((cls` J)` S) /\ x e. ((nei` J)` {A}))) -> (x i^i S) =/= (/))
23	20, 22	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ (A e. ((cls` J)` S) /\ x e. ((nei` J)` {A}))) -> (y = S -> (x i^i y) =/= (/)))
24	23	expr 418	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (x e. ((nei` J)` {A}) -> (y = S -> (x i^i y) =/= (/))))
25		elsn 3058	. . . . . . . . . 10 |- (y e. {S} <-> y = S)
26	24, 25	syl7ib 233	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (x e. ((nei` J)` {A}) -> (y e. {S} -> (x i^i y) =/= (/))))
27	26	imp3a 388	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((x e. ((nei` J)` {A}) /\ y e. {S}) -> (x i^i y) =/= (/)))
28	27	r19.21aivv 2183	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> A.x e. ((nei` J)` {A})A.y e. {S} (x i^i y) =/= (/))
29		simp1 876	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> J e. Top)
30		snssi 3129	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. X -> {A} C_ X)
31	30	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> {A} C_ X)
32		snnzg 3118	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. X -> {A} =/= (/))
33	32	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> {A} =/= (/))
34	8	neifil 10302	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ {A} C_ X /\ {A} =/= (/)) -> ((nei` J)` {A}) e. Fil)
35	29, 31, 33, 34	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> ((nei` J)` {A}) e. Fil)
36		filfbas 10276	. . . . . . . . . 10 |- (((nei` J)` {A}) e. Fil -> ((nei` J)` {A}) e. fBas)
37	35, 36	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> ((nei` J)` {A}) e. fBas)
38	37	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((nei` J)` {A}) e. fBas)
39		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (S = (/) -> ((cls` J)` S) = ((cls` J)` (/)))
40	39	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . 13 |- (S = (/) -> (A e. ((cls` J)` S) <-> A e. ((cls` J)` (/))))
41	40	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- (S = (/) -> (-. A e. ((cls` J)` S) <-> -. A e. ((cls` J)` (/))))
42		noel 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. A e. (/)
43		cls0 8985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (J e. Top -> ((cls` J)` (/)) = (/))
44	43	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (J e. Top -> (A e. ((cls` J)` (/)) <-> A e. (/)))
45	42, 44	mtbiri 785	. . . . . . . . . . . . 13 |- (J e. Top -> -. A e. ((cls` J)` (/)))
46	45	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> -. A e. ((cls` J)` (/)))
47	41, 46	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (S = (/) -> -. A e. ((cls` J)` S)))
48	47	necon2ad 2055	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (A e. ((cls` J)` S) -> S =/= (/)))
49	48	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> S =/= (/))
50		oefil2 10275	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. _V /\ S =/= (/)) -> {S} e. Fil)
51	50, 11	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ S C_ X) /\ S =/= (/)) -> {S} e. Fil)
52	51	3adantl3 1034	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ S =/= (/)) -> {S} e. Fil)
53		filfbas 10276	. . . . . . . . . 10 |- ({S} e. Fil -> {S} e. fBas)
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ S =/= (/)) -> {S} e. fBas)
55	49, 54	syldan 516	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> {S} e. fBas)
56		fbunfip 10282	. . . . . . . 8 |- ((((nei` J)` {A}) e. fBas /\ {S} e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) <-> A.x e. ((nei` J)` {A})A.y e. {S} (x i^i y) =/= (/)))
57	38, 55, 56	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) <-> A.x e. ((nei` J)` {A})A.y e. {S} (x i^i y) =/= (/)))
58	28, 57	mpbird 213	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (/) e/ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
59	5, 18, 58	sylanbrc 527	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas)
60		fgfil 10290	. . . . 5 |- (( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas -> (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) e. Fil)
61	59, 60	syl 12	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) e. Fil)
62	8	unnei 9011	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ {A} C_ X) -> U.((nei` J)` {A}) = X)
63	62, 30	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> U.((nei` J)` {A}) = X)
64	63	3adant2 895	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> U.((nei` J)` {A}) = X)
65	64	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> U.((nei` J)` {A}) = X)
66	65	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> X = U.((nei` J)` {A}))
67		unisng 3194	. . . . . . . . . . . 12 |- (S e. _V -> U.{S} = S)
68	11, 67	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> U.{S} = S)
69	68	3adant3 896	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> U.{S} = S)
70	69	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> U.{S} = S)
71	70	eqcomd 1889	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> S = U.{S})
72	66, 71	uneq12d 2756	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (X u. S) = (U.((nei` J)` {A}) u. U.{S}))
73		uniun 3196	. . . . . . 7 |- U.(((nei` J)` {A}) u. {S}) = (U.((nei` J)` {A}) u. U.{S})
74	72, 73	syl6eqr 1946	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (X u. S) = U.(((nei` J)` {A}) u. {S}))
75		fiuni 10219	. . . . . . 7 |- ((((nei` J)` {A}) u. {S}) e. _V -> U.(((nei` J)` {A}) u. {S}) = U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
76	3, 75	ax-mp 7	. . . . . 6 |- U.(((nei` J)` {A}) u. {S}) = U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))
77	74, 76	syl6eq 1944	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (X u. S) = U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
78		simpl2 880	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> S C_ X)
79		ssequn2 2779	. . . . . 6 |- (S C_ X <-> (X u. S) = X)
80	78, 79	sylib 215	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (X u. S) = X)
81		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) = U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))
82	81	fgbas 10286	. . . . . 6 |- (( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas -> U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
83	59, 82	syl 12	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> U.( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
84	77, 80, 83	3eqtr3d 1934	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
85		abfi2 10216	. . . . . . . . 9 |- ((((nei` J)` {A}) u. {S}) e. _V -> (((nei` J)` {A}) u. {S}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
86	3, 85	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (((nei` J)` {A}) u. {S}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))
87	13, 86	sstri 2626	. . . . . . 7 |- {S} C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))
88	87	a1i 8	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> {S} C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
89		fbssfg 10285	. . . . . . 7 |- (( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) e. fBas -> ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
90	59, 89	syl 12	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
91	88, 90	sstrd 2627	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> {S} C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
92		snidg 3067	. . . . . . . 8 |- (S e. _V -> S e. {S})
93	11, 92	syl 12	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ S C_ X) -> S e. {S})
94	93	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> S e. {S})
95	94	adantr 425	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> S e. {S})
96	91, 95	sseldd 2620	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> S e. (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
97		simpl1 879	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> J e. Top)
98	31	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> {A} C_ X)
99		snnzg 3118	. . . . . . . 8 |- (A e. ((cls` J)` S) -> {A} =/= (/))
100	99	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> {A} =/= (/))
101	97, 98, 100, 34	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((nei` J)` {A}) e. Fil)
102	97, 101, 61	3jca 1050	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> (J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) e. Fil))
103		ssun1 2767	. . . . . . . 8 |- ((nei` J)` {A}) C_ (((nei` J)` {A}) u. {S})
104	103, 86	sstri 2626	. . . . . . 7 |- ((nei` J)` {A}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))
105	104	a1i 8	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((nei` J)` {A}) C_ ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
106	105, 90	sstrd 2627	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> ((nei` J)` {A}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
107	8	neiplim 15586	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})))
108	107	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})))
109	108	adantr 425	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A})))
110		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.((nei` J)` {A}) = U.((nei` J)` {A})
111		eqid 1884	. . . . . 6 |- U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))
112	8, 110, 111	limfilss 10299	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ ((nei` J)` {A}) e. Fil /\ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) e. Fil) /\ X = U.((nei` J)` {A}) /\ X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))) /\ ((nei` J)` {A}) C_ (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) /\ A e. ((fLim1` J)` ((nei` J)` {A}))) -> A e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
113	102, 66, 84, 106, 109, 112	syl311anc 1114	. . . 4 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> A e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
114		unieq 3185	. . . . . . 7 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> U.f = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))
115	114	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> (X = U.f <-> X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
116		eleq2 1958	. . . . . 6 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> (S e. f <-> S e. (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
117		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> ((fLim1` J)` f) = ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))
118	117	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> (A e. ((fLim1` J)` f) <-> A e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))))))
119	115, 116, 118	3anbi123d 1168	. . . . 5 |- (f = (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) -> ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) <-> (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) /\ S e. (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) /\ A e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))))
120	119	rcla4ev 2381	. . . 4 |- (((filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) e. Fil /\ (X = U.(filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) /\ S e. (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S}))) /\ A e. ((fLim1` J)` (filGen` ( fi ` (((nei` J)` {A}) u. {S})))))) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)))
121	61, 84, 96, 113, 120	syl13anc 1102	. . 3 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ A e. ((cls` J)` S)) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)))
122	121	ex 402	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (A e. ((cls` J)` S) -> E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f))))
123		simplr 449	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> f e. Fil)
124		simpll1 915	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> J e. Top)
125		simprl1 921	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> X = U.f)
126		simprl3 923	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> A e. ((fLim1` J)` f))
127		opnneip 9009	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ o e. J /\ A e. o) -> o e. ((nei` J)` {A}))
128	127	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ (o e. J /\ A e. o)) -> o e. ((nei` J)` {A}))
129	128	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . 10 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ (o e. J /\ A e. o)) -> o e. ((nei` J)` {A}))
130	129	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> o e. ((nei` J)` {A}))
131		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- U.f = U.f
132	8, 131	flimnei 10301	. . . . . . . . 9 |- (((J e. Top /\ f e. Fil /\ X = U.f) /\ A e. ((fLim1` J)` f) /\ o e. ((nei` J)` {A})) -> o e. f)
133	124, 123, 125, 126, 130, 132	syl311anc 1114	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> o e. f)
134		simprl2 922	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> S e. f)
135		filint 10269	. . . . . . . 8 |- ((f e. Fil /\ o e. f /\ S e. f) -> (o i^i S) e. f)
136	123, 133, 134, 135	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> (o i^i S) e. f)
137		eleq1 1957	. . . . . . . . . 10 |- ((o i^i S) = (/) -> ((o i^i S) e. f <-> (/) e. f))
138	137	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- ((o i^i S) = (/) -> (-. (o i^i S) e. f <-> -. (/) e. f))
139		filesn 10268	. . . . . . . . 9 |- (f e. Fil -> -. (/) e. f)
140	138, 139	syl5cbir 228	. . . . . . . 8 |- (f e. Fil -> ((o i^i S) = (/) -> -. (o i^i S) e. f))
141	140	necon2ad 2055	. . . . . . 7 |- (f e. Fil -> ((o i^i S) e. f -> (o i^i S) =/= (/)))
142	123, 136, 141	sylc 83	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) /\ ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) /\ (o e. J /\ A e. o))) -> (o i^i S) =/= (/))
143	142	exp45 417	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) /\ f e. Fil) -> ((X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) -> (o e. J -> (A e. o -> (o i^i S) =/= (/)))))
144	143	r19.23adva 2216	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) -> (o e. J -> (A e. o -> (o i^i S) =/= (/)))))
145	144	r19.21adv 2181	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) -> A.o e. J (A e. o -> (o i^i S) =/= (/))))
146	8	elcls 8980	. . 3 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (A e. ((cls` J)` S) <-> A.o e. J (A e. o -> (o i^i S) =/= (/))))
147	145, 146	sylibrd 221	. 2 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f)) -> A e. ((cls` J)` S)))
148	122, 147	impbid 574	1 |- ((J e. Top /\ S C_ X /\ A e. X) -> (A e. ((cls` J)` S) <-> E.f e. Fil (X = U.f /\ S e. f /\ A e. ((fLim1` J)` f))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {csn 3044  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  clsccl 8938  neicnei 8988   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain