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Theorem flimcls 20313
Description: Closure in terms of filter convergence. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimcls  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    f, J    S, f    f, X

Proof of Theorem flimcls
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( X
filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )
21flimclslem 20312 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
3 3anass 977 . . . . 5  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )  <->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
42, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  ( ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
5 eleq2 2540 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( S  e.  f  <->  S  e.  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J ) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
6 oveq2 6293 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( J  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) )
76eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( A  e.  ( J  fLim  f
)  <->  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )
85, 7anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( X filGen ( fi `  ( ( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) )  ->  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  <->  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) ) )
98rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  e.  ( Fil `  X
)  /\  ( S  e.  ( X filGen ( fi
`  ( ( ( nei `  J ) `
 { A }
)  u.  { S } ) ) )  /\  A  e.  ( J  fLim  ( X filGen ( fi `  (
( ( nei `  J
) `  { A } )  u.  { S } ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) ) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X  /\  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) )
11103expia 1198 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  ->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
12 flimclsi 20306 . . . 4  |-  ( S  e.  f  ->  ( J  fLim  f )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1312sselda 3504 . . 3  |-  ( ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J ) `  S ) )
1413rexlimivw 2952 . 2  |-  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) )  ->  A  e.  ( ( cls `  J
) `  S )
)
1511, 14impbid1 203 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  C_  X )  ->  ( A  e.  ( ( cls `  J ) `  S )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( S  e.  f  /\  A  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   ficfi 7871   filGencfg 18218  TopOnctopon 19202   clsccl 19325   neicnei 19404   Filcfil 20173    fLim cflim 20262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-top 19206  df-topon 19209  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-fil 20174  df-flim 20267
This theorem is referenced by:  cmetss  21580
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