Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flimcf Structured version   Unicode version

Theorem flimcf 20775
 Description: Fineness is properly characterized by the property that every limit point of a filter in the finer topology is a limit point in the coarser topology. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flimcf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem flimcf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 760 . . . . . . 7 TopOn TopOn TopOn
2 simprl 756 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3 simplr 754 . . . . . . 7 TopOn TopOn
4 flimss1 20766 . . . . . . 7 TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1230 . . . . . 6 TopOn TopOn
6 simprr 758 . . . . . 6 TopOn TopOn
75, 6sseldd 3443 . . . . 5 TopOn TopOn
87expr 613 . . . 4 TopOn TopOn
98ssrdv 3448 . . 3 TopOn TopOn
109ralrimiva 2818 . 2 TopOn TopOn
11 simpllr 761 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
12 simplll 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn TopOn
13 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn TopOn
14 toponss 19722 . . . . . . . . . . . . . . 15 TopOn
1512, 13, 14syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
16 simprr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn TopOn
1715, 16sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn
1817snssd 4117 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
19 snnzg 4089 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
21 neifil 20673 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
2211, 18, 20, 21syl3anc 1230 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
23 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
24 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . 13
25 oveq2 6286 . . . . . . . . . . . . 13
2624, 25sseq12d 3471 . . . . . . . . . . . 12
2726rspcv 3156 . . . . . . . . . . 11
2822, 23, 27sylc 59 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
29 neiflim 20767 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3011, 17, 29syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
3128, 30sseldd 3443 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
32 flimneiss 20759 . . . . . . . . 9
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
34 topontop 19719 . . . . . . . . . 10 TopOn
3512, 34syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
36 opnneip 19913 . . . . . . . . 9
3735, 13, 16, 36syl3anc 1230 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
3833, 37sseldd 3443 . . . . . . 7 TopOn TopOn
3938anassrs 646 . . . . . 6 TopOn TopOn
4039ralrimiva 2818 . . . . 5 TopOn TopOn
41 simpllr 761 . . . . . 6 TopOn TopOn TopOn
42 topontop 19719 . . . . . 6 TopOn
43 opnnei 19914 . . . . . 6
4441, 42, 433syl 18 . . . . 5 TopOn TopOn
4540, 44mpbird 232 . . . 4 TopOn TopOn
4645ex 432 . . 3 TopOn TopOn
4746ssrdv 3448 . 2 TopOn TopOn
4810, 47impbida 833 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2754   wss 3414  c0 3738  csn 3972  cfv 5569  (class class class)co 6278  ctop 19686  TopOnctopon 19687  cnei 19891  cfil 20638   cflim 20727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18736  df-top 19691  df-topon 19694  df-ntr 19813  df-nei 19892  df-fil 20639  df-flim 20732 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator