Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fliftfun Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fliftfun 6205
 Description: The function is the unique function defined by , provided that the well-definedness condition holds. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
flift.1
flift.2
flift.3
fliftfun.4
fliftfun.5
Assertion
Ref Expression
fliftfun
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fliftfun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1761 . . 3
2 flift.1 . . . . 5
3 nfmpt1 4492 . . . . . 6
43nfrn 5077 . . . . 5
52, 4nfcxfr 2590 . . . 4
65nffun 5604 . . 3
7 fveq2 5865 . . . . . . 7
8 simplr 762 . . . . . . . . 9
9 flift.2 . . . . . . . . . . 11
10 flift.3 . . . . . . . . . . 11
112, 9, 10fliftel1 6203 . . . . . . . . . 10
1211ad2ant2r 753 . . . . . . . . 9
13 funbrfv 5903 . . . . . . . . 9
148, 12, 13sylc 62 . . . . . . . 8
15 simprr 766 . . . . . . . . . . 11
16 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11
17 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11
18 fliftfun.4 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13
20 fliftfun.5 . . . . . . . . . . . . . 14
2120eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13
2219, 21anbi12d 717 . . . . . . . . . . . 12
2322rspcev 3150 . . . . . . . . . . 11
2415, 16, 17, 23syl12anc 1266 . . . . . . . . . 10
252, 9, 10fliftel 6202 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10
2724, 26mpbird 236 . . . . . . . . 9
28 funbrfv 5903 . . . . . . . . 9
298, 27, 28sylc 62 . . . . . . . 8
3014, 29eqeq12d 2466 . . . . . . 7
317, 30syl5ib 223 . . . . . 6
3231anassrs 654 . . . . 5
3332ralrimiva 2802 . . . 4
3433exp31 609 . . 3
351, 6, 34ralrimd 2792 . 2
362, 9, 10fliftel 6202 . . . . . . . . 9
372, 9, 10fliftel 6202 . . . . . . . . . 10
3818eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12
3920eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12
4038, 39anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11
4140cbvrexv 3020 . . . . . . . . . 10
4237, 41syl6bb 265 . . . . . . . . 9
4336, 42anbi12d 717 . . . . . . . 8
4443biimpd 211 . . . . . . 7
45 reeanv 2958 . . . . . . . 8
46 r19.29 2925 . . . . . . . . . 10
47 r19.29 2925 . . . . . . . . . . . 12
48 eqtr2 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049imim1i 60 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14
52 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . . 14
53 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . . 14
5451, 52, 533eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . 13
5554rexlimivw 2876 . . . . . . . . . . . 12
5647, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11
5756rexlimivw 2876 . . . . . . . . . 10
5846, 57syl 17 . . . . . . . . 9
5958ex 436 . . . . . . . 8
6045, 59syl5bir 222 . . . . . . 7
6144, 60syl9 73 . . . . . 6
6261alrimdv 1775 . . . . 5
6362alrimdv 1775 . . . 4
6463alrimdv 1775 . . 3
652, 9, 10fliftrel 6201 . . . . 5
66 relxp 4942 . . . . 5
67 relss 4922 . . . . 5
6865, 66, 67mpisyl 21 . . . 4
69 dffun2 5592 . . . . 5
7069baib 914 . . . 4
7168, 70syl 17 . . 3
7264, 71sylibrd 238 . 2
7335, 72impbid 194 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371  wal 1442   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  cop 3974   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832   crn 4835   wrel 4839   wfun 5576  cfv 5582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590 This theorem is referenced by:  fliftfund  6206  fliftfuns  6207  qliftfun  7448
 Copyright terms: Public domain W3C validator