MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flid Structured version   Unicode version

Theorem flid 11656
Description: An integer is its own floor. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
flid  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )

Proof of Theorem flid
StepHypRef Expression
1 zre 10649 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 flle 11648 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
41leidd 9905 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  <_  A )
5 flge 11654 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  ( |_ `  A ) ) )
61, 5mpancom 669 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  <_  A  <->  A  <_  ( |_ `  A ) ) )
74, 6mpbid 210 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  <_  ( |_ `  A
) )
8 reflcl 11645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
91, 8syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109, 1letri3d 9515 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  A
)  =  A  <->  ( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <_  ( |_ `  A ) ) ) )
113, 7, 10mpbir2and 913 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( |_ `  A )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4291   ` cfv 5417   RRcr 9280    <_ cle 9418   ZZcz 10645   |_cfl 11639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fl 11641
This theorem is referenced by:  flidm  11657  flidz  11658  ceilid  11689  fleqceilz  11692  zmod10  11723  bits0  13623  bitsp1e  13627  bitsuz  13669  phiprmpw  13850  fldivp1  13958  prmreclem4  13979  dvfsumlem1  21497  dvfsumlem3  21499  ppival2  22465  ppival2g  22466  chtprm  22490  chtnprm  22491  chpp1  22492  chtdif  22495  cht1  22502  chp1  22504  prmorcht  22515  logfaclbnd  22560  logfacbnd3  22561  logexprlim  22563  rplogsumlem2  22733  log2sumbnd  22792  logdivbnd  22804  pntrsumbnd  22814  pntrlog2bndlem1  22825  pntrlog2bndlem4  22828
  Copyright terms: Public domain W3C validator