Theorem flhalf 7487

Description: Ordering relation for the floor of half of an integer.

Assertion

Ref	Expression
flhalf	|- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Proof of Theorem flhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zeo 7411	. 2 |- (N e. ZZ -> ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ))
2		flid 7474	. . . . . 6 |- ((N / 2) e. ZZ -> (|_` (N / 2)) = (N / 2))
3	2	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((N / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) = (2 x. (N / 2)))
4		zcn 7349	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
5		2cn 7164	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
6		2ne0 7174	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
7		divcan2 6910	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. (N / 2)) = N)
8	5, 6, 7	mp3an23 1183	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (2 x. (N / 2)) = N)
9	4, 8	syl 12	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (N / 2)) = N)
10	3, 9	sylan9eqr 1951	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) = N)
11		zre 7348	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
12		rehalfcl 7220	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (N / 2) e. RR)
13	11, 12	syl 12	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (N / 2) e. RR)
14		reflcl 7466	. . . . . . 7 |- ((N / 2) e. RR -> (|_` (N / 2)) e. RR)
15	13, 14	syl 12	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) e. RR)
16		peano2re 6599	. . . . . . . 8 |- (N e. RR -> (N + 1) e. RR)
17		rehalfcl 7220	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) e. RR -> ((N + 1) / 2) e. RR)
18	11, 16, 17	3syl 24	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> ((N + 1) / 2) e. RR)
19		flcl 7465	. . . . . . 7 |- (((N + 1) / 2) e. RR -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ)
20		zre 7348	. . . . . . 7 |- ((|_` ((N + 1) / 2)) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
21	18, 19, 20	3syl 24	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR)
22		2re 7163	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
23	22	a1i 8	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> 2 e. RR)
24	11, 16	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (N e. ZZ -> (N + 1) e. RR)
25		lep1 6990	. . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N <_ (N + 1))
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> N <_ (N + 1))
27		2pos 7173	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
28		lediv1OLD 7034	. . . . . . . . . . . 12 |- (((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) /\ 0 < 2) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
29	27, 28	mpan2 760	. . . . . . . . . . 11 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR /\ 2 e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
30	22, 29	mp3an3 1180	. . . . . . . . . 10 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N <_ (N + 1) <-> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)))
31	26, 30	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ (N + 1) e. RR) -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
32	11, 24, 31	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (N e. ZZ -> (N / 2) <_ ((N + 1) / 2))
33		flwordi 7477	. . . . . . . 8 |- (((N / 2) e. RR /\ ((N + 1) / 2) e. RR /\ (N / 2) <_ ((N + 1) / 2)) -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
34	13, 18, 32, 33	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))
35		0re 6603	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
36	35, 22, 27	ltleii 6756	. . . . . . 7 |- 0 <_ 2
37	34, 36	jctil 316	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2))))
38		lemul2aOLD 7022	. . . . . 6 |- ((((|_` (N / 2)) e. RR /\ (|_` ((N + 1) / 2)) e. RR /\ 2 e. RR) /\ (0 <_ 2 /\ (|_` (N / 2)) <_ (|_` ((N + 1) / 2)))) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
39	15, 21, 23, 37, 38	syl31anc 1103	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
40	39	adantr 425	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` (N / 2))) <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
41	10, 40	eqbrtrrd 3359	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ (N / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
42	11, 25	syl 12	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N <_ (N + 1))
43	42	adantr 425	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (N + 1))
44		flid 7474	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (|_` ((N + 1) / 2)) = ((N + 1) / 2))
45	44	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) e. ZZ -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (2 x. ((N + 1) / 2)))
46		peano2cn 6498	. . . . . 6 |- (N e. CC -> (N + 1) e. CC)
47		divcan2 6910	. . . . . . 7 |- (((N + 1) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
48	5, 6, 47	mp3an23 1183	. . . . . 6 |- ((N + 1) e. CC -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
49	4, 46, 48	3syl 24	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1))
50	45, 49	sylan9eqr 1951	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))) = (N + 1))
51	43, 50	breqtrrd 3363	. . 3 |- ((N e. ZZ /\ ((N + 1) / 2) e. ZZ) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
52	41, 51	jaodan 471	. 2 |- ((N e. ZZ /\ ((N / 2) e. ZZ \/ ((N + 1) / 2) e. ZZ)) -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))
53	1, 52	mpdan 768	1 |- (N e. ZZ -> N <_ (2 x. (|_` ((N + 1) / 2))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  2c2 7145  |_cfl 7462

This theorem is referenced by:  efaddlem12 8611  efaddlem20 8619  efaddlem22 8621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463

Copyright terms: Public domain