MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Unicode version

Theorem flge0nn0 11918
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 11896 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
3 0z 10871 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
4 flge 11906 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
53, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
65biimpa 484 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  ( |_ `  A ) )
7 elnn0z 10873 . 2  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) ) )
82, 6, 7sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   |_cfl 11891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fl 11893
This theorem is referenced by:  fldivnn0  11920  expnbnd  12259  facavg  12343  o1fsum  13586  efcllem  13671  odzdvds  14177  prmreclem3  14291  1arith  14300  odmodnn0  16360  lebnumii  21201  lmnn  21437  vitalilem4  21755  mbfi1fseqlem1  21857  mbfi1fseqlem3  21859  mbfi1fseqlem5  21861  harmoniclbnd  23066  harmonicbnd4  23068  fsumharmonic  23069  ppiltx  23179  logfac2  23220  chpval2  23221  chpchtsum  23222  chpub  23223  logfaclbnd  23225  logfacbnd3  23226  logfacrlim  23227  bposlem1  23287  lgsquadlem2  23358  chtppilimlem1  23386  vmadivsum  23395  rpvmasumlem  23400  dchrisumlema  23401  dchrisumlem1  23402  dchrisum0lem1b  23428  dchrisum0lem1  23429  dchrisum0lem2a  23430  dchrisum0lem3  23432  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  selberglem2  23459  selberg2lem  23463  pntrsumo1  23478  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem6a  23495  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntlemg  23511  pntlemj  23516  pntlemf  23518  ostth2lem2  23547  ostth2lem3  23548  minvecolem3  25468  minvecolem4  25472  itg2addnclem2  29644  irrapxlem4  30365  irrapxlem5  30366  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  fourierdlem47  31454
  Copyright terms: Public domain W3C validator