MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Unicode version

Theorem flge0nn0 11990
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 11967 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
3 0z 10915 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
4 flge 11977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
53, 4mpan2 669 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
65biimpa 482 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  ( |_ `  A ) )
7 elnn0z 10917 . 2  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) ) )
82, 6, 7sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568   RRcr 9520   0cc0 9521    <_ cle 9658   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   |_cfl 11962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fl 11964
This theorem is referenced by:  fldivnn0  11992  expnbnd  12337  facavg  12421  o1fsum  13776  efcllem  14020  odzdvds  14529  prmreclem3  14643  1arith  14652  odmodnn0  16886  lebnumii  21756  lmnn  21992  vitalilem4  22310  mbfi1fseqlem1  22412  mbfi1fseqlem3  22414  mbfi1fseqlem5  22416  harmoniclbnd  23662  harmonicbnd4  23664  fsumharmonic  23665  ppiltx  23830  logfac2  23871  chpval2  23872  chpchtsum  23873  chpub  23874  logfaclbnd  23876  logfacbnd3  23877  logfacrlim  23878  bposlem1  23938  lgsquadlem2  24009  chtppilimlem1  24037  vmadivsum  24046  rpvmasumlem  24051  dchrisumlema  24052  dchrisumlem1  24053  dchrisum0lem1b  24079  dchrisum0lem1  24080  dchrisum0lem2a  24081  dchrisum0lem3  24083  mudivsum  24094  mulogsumlem  24095  selberglem2  24110  selberg2lem  24114  pntrsumo1  24129  pntrlog2bndlem2  24142  pntrlog2bndlem4  24144  pntrlog2bndlem6a  24146  pntpbnd1  24150  pntpbnd2  24151  pntlemg  24162  pntlemj  24167  pntlemf  24169  ostth2lem2  24198  ostth2lem3  24199  minvecolem3  26192  minvecolem4  26196  itg2addnclem2  31420  irrapxlem4  35102  irrapxlem5  35103  ioodvbdlimc1lem2  37078  ioodvbdlimc2lem  37080  fourierdlem47  37285  fllog2  38680  blennnelnn  38688  dignnld  38715  dignn0flhalf  38730
  Copyright terms: Public domain W3C validator