MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge0nn0 Structured version   Unicode version

Theorem flge0nn0 11658
Description: The floor of a number greater than or equal to 0 is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
flge0nn0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem flge0nn0
StepHypRef Expression
1 flcl 11637 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
3 0z 10649 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
4 flge 11647 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
53, 4mpan2 671 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  0  <_  ( |_ `  A ) ) )
65biimpa 484 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  ( |_ `  A ) )
7 elnn0z 10651 . 2  |-  ( ( |_ `  A )  e.  NN0  <->  ( ( |_
`  A )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( |_ `  A
) ) )
82, 6, 7sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413   RRcr 9273   0cc0 9274    <_ cle 9411   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   |_cfl 11632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fl 11634
This theorem is referenced by:  fldivnn0  11660  expnbnd  11985  facavg  12069  o1fsum  13268  efcllem  13355  odzdvds  13859  prmreclem3  13971  1arith  13980  odmodnn0  16034  lebnumii  20513  lmnn  20749  vitalilem4  21066  mbfi1fseqlem1  21168  mbfi1fseqlem3  21170  mbfi1fseqlem5  21172  harmoniclbnd  22377  harmonicbnd4  22379  fsumharmonic  22380  ppiltx  22490  logfac2  22531  chpval2  22532  chpchtsum  22533  chpub  22534  logfaclbnd  22536  logfacbnd3  22537  logfacrlim  22538  bposlem1  22598  lgsquadlem2  22669  chtppilimlem1  22697  vmadivsum  22706  rpvmasumlem  22711  dchrisumlema  22712  dchrisumlem1  22713  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem1  22740  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem3  22743  mudivsum  22754  mulogsumlem  22755  selberglem2  22770  selberg2lem  22774  pntrsumo1  22789  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem4  22804  pntrlog2bndlem6a  22806  pntpbnd1  22810  pntpbnd2  22811  pntlemg  22822  pntlemj  22827  pntlemf  22829  ostth2lem2  22858  ostth2lem3  22859  minvecolem3  24228  minvecolem4  24232  itg2addnclem2  28397  irrapxlem4  29119  irrapxlem5  29120
  Copyright terms: Public domain W3C validator