MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge Structured version   Unicode version

Theorem flge 11892
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
flge  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem flge
StepHypRef Expression
1 flltp1 11887 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zred 10928 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
5 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
65flcld 11885 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
76peano2zd 10931 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ZZ )
87zred 10928 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
9 lelttr 9626 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
104, 5, 8, 9syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
112, 10mpan2d 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
12 zleltp1 10875 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  -> 
( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
133, 6, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1411, 13sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
15 flle 11886 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
1615adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
176zred 10928 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
18 letr 9629 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  <_  ( |_ `  A )  /\  ( |_ `  A )  <_  A )  ->  B  <_  A ) )
194, 17, 5, 18syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_ 
( |_ `  A
)  /\  ( |_ `  A )  <_  A
)  ->  B  <_  A ) )
2016, 19mpan2d 672 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  ->  B  <_  A ) )
2114, 20impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   1c1 9443    + caddc 9445    < clt 9578    <_ cle 9579   ZZcz 10825   |_cfl 11877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fl 11879
This theorem is referenced by:  fllt  11893  flid  11895  flwordi  11898  flval2  11900  flval3  11901  flge0nn0  11905  flge1nn  11906  flmulnn0  11911  btwnzge0  11912  fznnfl  11940  absrdbnd  13230  limsupgre  13360  climrlim2  13426  hashdvds  14406  prmreclem3  14537  ovolunlem1a  22091  mbfi1fseqlem4  22309  mbfi1fseqlem5  22310  dvfsumlem1  22611  dvfsumlem3  22613  ppisval  23650  dvdsflf1o  23736  ppiub  23752  chtub  23760  fsumvma2  23762  chpval2  23766  chpchtsum  23767  efexple  23829  bposlem3  23834  bposlem4  23835  bposlem5  23836  lgsquadlem1  23902  lgsquadlem2  23903  chebbnd1lem2  23928  chebbnd1lem3  23929  dchrisum0lem1  23974  pntrlog2bndlem6  24041  pntpbnd1  24044  pntpbnd2  24045  pntlemh  24057  pntlemj  24061  pntlemf  24063  isprm7  36021  dirkertrigeqlem3  37232  nnolog2flm1  38701
  Copyright terms: Public domain W3C validator