MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge Structured version   Unicode version

Theorem flge 11655
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
flge  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem flge
StepHypRef Expression
1 flltp1 11650 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zred 10747 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
5 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
65flcld 11648 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
76peano2zd 10750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ZZ )
87zred 10747 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
9 lelttr 9465 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
104, 5, 8, 9syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
112, 10mpan2d 674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
12 zleltp1 10695 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  -> 
( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
133, 6, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1411, 13sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
15 flle 11649 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
176zred 10747 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
18 letr 9468 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  <_  ( |_ `  A )  /\  ( |_ `  A )  <_  A )  ->  B  <_  A ) )
194, 17, 5, 18syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_ 
( |_ `  A
)  /\  ( |_ `  A )  <_  A
)  ->  B  <_  A ) )
2016, 19mpan2d 674 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  ->  B  <_  A ) )
2114, 20impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RRcr 9281   1c1 9283    + caddc 9285    < clt 9418    <_ cle 9419   ZZcz 10646   |_cfl 11640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fl 11642
This theorem is referenced by:  fllt  11656  flid  11657  flwordi  11660  flval2  11662  flval3  11663  flge0nn0  11666  flge1nn  11667  flmulnn0  11672  btwnzge0  11673  fznnfl  11701  absrdbnd  12829  limsupgre  12959  climrlim2  13025  hashdvds  13850  prmreclem3  13979  ovolunlem1a  20979  mbfi1fseqlem4  21196  mbfi1fseqlem5  21197  dvfsumlem1  21498  dvfsumlem3  21500  ppisval  22441  dvdsflf1o  22527  ppiub  22543  chtub  22551  fsumvma2  22553  chpval2  22557  chpchtsum  22558  efexple  22620  bposlem3  22625  bposlem4  22626  bposlem5  22627  lgsquadlem1  22693  lgsquadlem2  22694  chebbnd1lem2  22719  chebbnd1lem3  22720  dchrisum0lem1  22765  pntrlog2bndlem6  22832  pntpbnd1  22835  pntpbnd2  22836  pntlemh  22848  pntlemj  22852  pntlemf  22854
  Copyright terms: Public domain W3C validator