MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flge Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem flge 12041
Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
flge  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem flge
StepHypRef Expression
1 flltp1 12036 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zred 11040 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
5 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
65flcld 12034 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
76peano2zd 11043 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  ZZ )
87zred 11040 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
9 lelttr 9724 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
104, 5, 8, 9syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
112, 10mpan2d 680 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
12 zleltp1 10987 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( |_ `  A )  e.  ZZ )  -> 
( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
133, 6, 12syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1411, 13sylibrd 238 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
15 flle 12035 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
1615adantr 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
176zred 11040 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
18 letr 9727 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( B  <_  ( |_ `  A )  /\  ( |_ `  A )  <_  A )  ->  B  <_  A ) )
194, 17, 5, 18syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( B  <_ 
( |_ `  A
)  /\  ( |_ `  A )  <_  A
)  ->  B  <_  A ) )
2016, 19mpan2d 680 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( |_ `  A )  ->  B  <_  A ) )
2114, 20impbid 194 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937   |_cfl 12026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12028
This theorem is referenced by:  fllt  12042  flid  12044  flwordi  12047  flval2  12049  flval3  12050  flge0nn0  12054  flge1nn  12055  flmulnn0  12060  btwnzge0  12061  fznnfl  12089  absrdbnd  13404  limsupgre  13542  limsupgreOLD  13543  climrlim2  13611  hashdvds  14723  prmreclem3  14862  ovolunlem1a  22449  mbfi1fseqlem4  22676  mbfi1fseqlem5  22677  dvfsumlem1  22978  dvfsumlem3  22980  ppisval  24030  dvdsflf1o  24116  ppiub  24132  chtub  24140  fsumvma2  24142  chpval2  24146  chpchtsum  24147  efexple  24209  bposlem3  24214  bposlem4  24215  bposlem5  24216  lgsquadlem1  24282  lgsquadlem2  24283  chebbnd1lem2  24308  chebbnd1lem3  24309  dchrisum0lem1  24354  pntrlog2bndlem6  24421  pntpbnd1  24424  pntpbnd2  24425  pntlemh  24437  pntlemj  24441  pntlemf  24443  isprm7  36660  dirkertrigeqlem3  37962  nnolog2flm1  40454
  Copyright terms: Public domain W3C validator