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Theorem flftg 19413
Description: Limit points of a function can be defined using topological bases. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flftg.l  |-  J  =  ( topGen `  B )
Assertion
Ref Expression
flftg  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o    o, F, s    J, s    o, L, s    X, s    Y, s
Allowed substitution hints:    B( s)    J( o)    X( o)    Y( o)

Proof of Theorem flftg
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isflf 19410 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) ) ) )
2 flftg.l . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  B )
32raleqi 2913 . . . 4  |-  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. u  e.  ( topGen `  B )
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
4 simpl1 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
5 topontop 18375 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  J  e.  Top )
72, 6syl5eqelr 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( topGen `
 B )  e. 
Top )
8 tgclb 18419 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
97, 8sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  B  e. 
TopBases )
10 bastg 18415 . . . . . 6  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
11 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( A  e.  u  <->  A  e.  o ) )
12 sseq2 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  o  ->  (
( F " s
)  C_  u  <->  ( F " s )  C_  o
) )
1312rexbidv 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  o  ->  ( E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u  <->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) )
1411, 13imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  o  ->  (
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1514cbvralv 2939 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  <->  A. o  e.  (
topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) )
16 ssralv 3406 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
1715, 16syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( topGen `  B
)  ->  ( A. u  e.  ( topGen `  B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
189, 10, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  ->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
19 tg2 18414 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u )  ->  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )
20 r19.29 2849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) ) )
21 simpl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  A  e.  o )
22 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
o  C_  u )
23 sstr2 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " s ) 
C_  o  ->  (
o  C_  u  ->  ( F " s ) 
C_  u ) )
2422, 23syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( F "
s )  C_  o  ->  ( F " s
)  C_  u )
)
2524reximdv 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( E. s  e.  L  ( F "
s )  C_  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
2621, 25embantd 54 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  -> 
( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
2726impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2827rexlimivw 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. o  e.  B  ( ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
)
2920, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u ) )  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )
3029ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( E. o  e.  B  ( A  e.  o  /\  o  C_  u )  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3119, 30syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  -> 
( ( u  e.  ( topGen `  B )  /\  A  e.  u
)  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  u
) )
3231expdimp 437 . . . . . 6  |-  ( ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  /\  u  e.  ( topGen `  B ) )  -> 
( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3332ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o )  ->  A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )
3418, 33impbid1 203 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  ( topGen `
 B ) ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
353, 34syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u )  <->  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 636 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( A  e.  u  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  u ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
371, 36bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  B  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  L  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1757   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3318   "cima 4832   -->wf 5404   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   topGenctg 14361   Topctop 18342  TopOnctopon 18343   TopBasesctb 18346   Filcfil 19262    fLimf cflf 19352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-op 3874  df-uni 4082  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-id 4625  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-map 7206  df-topgen 14367  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-ntr 18468  df-nei 18546  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357
This theorem is referenced by:  txflf  19423
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