Theorem flfssfcf 15629

Description: A limit point of a function is a cluster point of the function.

Hypotheses

Ref	Expression
flfssfcf.1	|- X = U.J
flfssfcf.2	|- Y = U.L

Assertion

Ref	Expression
flfssfcf	|- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((J fLimf L)` F) C_ ((J fClusf L)` F))

Proof of Theorem flfssfcf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 876	. . 3 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> J e. Top)
2		flfssfcf.2	. . . . 5 |- Y = U.L
3	2	fmf 10310	. . . 4 |- ((X e. _V /\ L e. fBas /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. Fil)
4		uniexg 3795	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. _V)
5		flfssfcf.1	. . . . 5 |- X = U.J
6	4, 5	syl5eqel 1975	. . . 4 |- (J e. Top -> X e. _V)
7		filfbas 10276	. . . 4 |- (L e. Fil -> L e. fBas)
8		id 73	. . . 4 |- (F:Y-->X -> F:Y-->X)
9	3, 6, 7, 8	syl3an 1139	. . 3 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. Fil)
10	2	fmbas 10311	. . . . 5 |- ((X e. _V /\ L e. fBas /\ F:Y-->X) -> U.((X FilMap L)` F) = X)
11	10, 6, 7, 8	syl3an 1139	. . . 4 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> U.((X FilMap L)` F) = X)
12	11	eqcomd 1889	. . 3 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> X = U.((X FilMap L)` F))
13		eqid 1884	. . . 4 |- U.((X FilMap L)` F) = U.((X FilMap L)` F)
14	5, 13	flimfcls 15613	. . 3 |- ((J e. Top /\ ((X FilMap L)` F) e. Fil /\ X = U.((X FilMap L)` F)) -> ((fLim1` J)` ((X FilMap L)` F)) C_ ((fClus` J)` ((X FilMap L)` F)))
15	1, 9, 12, 14	syl111anc 1100	. 2 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((fLim1` J)` ((X FilMap L)` F)) C_ ((fClus` J)` ((X FilMap L)` F)))
16	5, 2	sflimf 10318	. 2 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((J fLimf L)` F) = ((fLim1` J)` ((X FilMap L)` F)))
17	5, 2	sfclusf 15624	. 2 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((J fClusf L)` F) = ((fClus` J)` ((X FilMap L)` F)))
18	15, 16, 17	3sstr4d 2660	1 |- ((J e. Top /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> ((J fLimf L)` F) C_ ((J fClusf L)` F))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857  fBascfbas 10257  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294   FilMap cfilmap 10304   fLimf cflimf 10305  fCluscfclus 15582   fClusf cfclusf 15583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-nei 8989  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295  df-filmap 10306  df-flimf 10316  df-fclus 15584  df-fclusf 15585

Copyright terms: Public domain