Theorem flflp1 12043

Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
flflp1	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) <_ B <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )

Proof of Theorem flflp1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 12036	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		flval 12030	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) )
4	3	ad3antlr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) )
5		simplr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
6	1	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
7		reflcl 12032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
8		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
10	9	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11		lttr 9710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
12	10, 11	mpd3an3 1365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
13	12	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B < A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	6, 13	mpan2d 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B < A -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	14	imp 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
16	15	adantlr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
17		flcl 12031	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
18		rebtwnz 11263	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) )
19		breq1 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x <_ B <-> ( |_ ` A ) <_ B ) )
20		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
21	20	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( B < ( x + 1 ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
22	19, 21	anbi12d 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` A ) -> ( ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) ) )
23	22	riota2 6274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
24	17, 18, 23	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ B /\ B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) ) )
26	5, 16, 25	mpbi2and 932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ B /\ B < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` A ) )
27	4, 26	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) = ( |_ ` A ) )
28	27	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) = ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
29	2, 28	breqtrrd 4429	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
30	29	ex 436	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> ( B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
31		lenlt 9712	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
32		flltp1 12036	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
33	32	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
34		reflcl 12032	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) e. RR )
35		peano2re 9806	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` B ) e. RR -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
37	36	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR )
38		lelttr 9724	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( ( |_ ` B ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
39	37, 38	mpd3an3 1365	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A <_ B /\ B < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
40	33, 39	mpan2d 680	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
41	31, 40	sylbird 239	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
42	41	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> ( -. B < A -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
43	30, 42	pm2.61d 162	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) <_ B ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
44		flval 12030	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
45	44	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
46	34	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) e. RR )
47		simpll 760	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> A e. RR )
48		simplr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B e. RR )
49		flle 12035	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) <_ B )
50	49	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ B )
51		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> B < A )
52	46, 48, 47, 50, 51	lelttrd 9793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) < A )
53	46, 47, 52	ltled 9783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ A )
54	53	adantlr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ A )
55		simplr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
56		flcl 12031	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` B ) e. ZZ )
57		rebtwnz 11263	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
58		breq1 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( x <_ A <-> ( |_ ` B ) <_ A ) )
59		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( x + 1 ) = ( ( |_ ` B ) + 1 ) )
60	59	breq2d 4414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )
61	58, 60	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |_ ` B ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) ) )
62	61	riota2 6274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( |_ ` B ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
63	56, 57, 62	syl2anr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
64	63	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( ( ( |_ ` B ) <_ A /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) ) )
65	54, 55, 64	mpbi2and 932	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( |_ ` B ) )
66	45, 65	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) = ( |_ ` B ) )
67	49	ad3antlr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` B ) <_ B )
68	66, 67	eqbrtrd 4423	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) /\ B < A ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
69	68	ex 436	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
70		flle 12035	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
71	70	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
72	7	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
73		letr 9727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
74	73	3coml 1215	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
75	72, 74	mpd3an3 1365	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
76	71, 75	mpand 681	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
77	31, 76	sylbird 239	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
78	77	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( -. B < A -> ( |_ ` A ) <_ B ) )
79	69, 78	pm2.61d 162	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) -> ( |_ ` A ) <_ B )
80	43, 79	impbida 843	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) <_ B <-> A < ( ( |_ ` B ) + 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   ZZcz 10937   |_cfl 12026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12028

This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  31994  hashnzfzclim  36671  fllog2  40432