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Theorem flflp1 12043
Description: Move floor function between strict and non-strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
flflp1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  B  <->  A  <  ( ( |_
`  B )  +  1 ) ) )

Proof of Theorem flflp1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 12036 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 flval 12030 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
43ad3antlr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
5 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  B )
61adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
7 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
8 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
109adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
11 lttr 9710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1210, 11mpd3an3 1365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1312ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  < 
A  /\  A  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
146, 13mpan2d 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
1514imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) )
1615adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
17 flcl 12031 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
18 rebtwnz 11263 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )
19 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  <_  B  <->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
20 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
2120breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  ( B  <  ( x  + 
1 )  <->  B  <  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
2219, 21anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  A )  ->  (
( x  <_  B  /\  B  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) ) )
2322riota2 6274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  A
) ) )
2417, 18, 23syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  (
x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) ) )
2524ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  B  /\  B  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) ) )
265, 16, 25mpbi2and 932 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  B  /\  B  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  A ) )
274, 26eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  =  ( |_ `  A
) )
2827oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  =  ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
292, 28breqtrrd 4429 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
3029ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  ( B  <  A  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
31 lenlt 9712 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
32 flltp1 12036 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
3332adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
34 reflcl 12032 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  e.  RR )
35 peano2re 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  B )  e.  RR  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )
3736adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  B )  +  1 )  e.  RR )
38 lelttr 9724 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
( |_ `  B
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
3937, 38mpd3an3 1365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
4033, 39mpan2d 680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) )
4131, 40sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
4241adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  ( -.  B  <  A  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) )
4330, 42pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <_  B
)  ->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) )
44 flval 12030 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
4544ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
4634ad2antlr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  e.  RR )
47 simpll 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  A  e.  RR )
48 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  e.  RR )
49 flle 12035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  <_  B )
5049ad2antlr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <_  B
)
51 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  B  <  A )
5246, 48, 47, 50, 51lelttrd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <  A
)
5346, 47, 52ltled 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( |_ `  B )  <_  A
)
5453adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  <_  A )
55 simplr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )
56 flcl 12031 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  B )  e.  ZZ )
57 rebtwnz 11263 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
58 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
x  <_  A  <->  ( |_ `  B )  <_  A
) )
59 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( |_
`  B )  +  1 ) )
6059breq2d 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( |_ `  B
)  +  1 ) ) )
6158, 60anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( |_ `  B )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) ) ) )
6261riota2 6274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( |_ `  B
)  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  B
) ) )
6356, 57, 62syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  B )  <_  A  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  (
x  +  1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) ) )
6463ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  (
( ( |_ `  B )  <_  A  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) ) )
6554, 55, 64mpbi2and 932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( |_ `  B ) )
6645, 65eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  =  ( |_ `  B
) )
6749ad3antlr 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  B )  <_  B )
6866, 67eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  ( ( |_ `  B )  +  1 ) )  /\  B  <  A )  ->  ( |_ `  A )  <_  B )
6968ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( B  <  A  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
70 flle 12035 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
7170adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
727adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
73 letr 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
74733coml 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7572, 74mpd3an3 1365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <_  B
)  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7671, 75mpand 681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( |_ `  A
)  <_  B )
)
7731, 76sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
A  ->  ( |_ `  A )  <_  B
) )
7877adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( -.  B  <  A  ->  ( |_ `  A )  <_  B ) )
7969, 78pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  (
( |_ `  B
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  A )  <_  B
)
8043, 79impbida 843 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  B  <->  A  <  ( ( |_
`  B )  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937   |_cfl 12026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12028
This theorem is referenced by:  itg2addnclem2  31994  hashnzfzclim  36671  fllog2  40432
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