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Theorem flffval 17974
Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, X    f, Y    f, L

Proof of Theorem flffval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16946 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 fvssunirn 5713 . . . 4  |-  ( Fil `  Y )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3304 . . 3  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  U.
ran  Fil )
4 unieq 3984 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  U. x  =  U. J )
5 unieq 3984 . . . . . 6  |-  ( y  =  L  ->  U. y  =  U. L )
64, 5oveqan12d 6059 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  ^m  U. y )  =  ( U. J  ^m  U. L ) )
7 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  x  =  J )
84adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  U. x  =  U. J )
98oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  FilMap  f )  =  ( U. J  FilMap  f ) )
10 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  y  =  L )
119, 10fveq12d 5693 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y
)  =  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) )
127, 11oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( x  fLim  (
( U. x  FilMap  f ) `  y ) )  =  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )
136, 12mpteq12dv 4247 . . . 4  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
14 df-flf 17925 . . . 4  |-  fLimf  =  ( x  e.  Top , 
y  e.  U. ran  Fil  |->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) ) )
15 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( U. J  ^m  U. L )  e.  _V
1615mptex 5925 . . . 4  |-  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) )  e.  _V
1713, 14, 16ovmpt2a 6163 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
181, 3, 17syl2an 464 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
19 toponuni 16947 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2019eqcomd 2409 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  =  X )
21 filunibas 17866 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  U. L  =  Y )
2220, 21oveqan12d 6059 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  ^m  U. L
)  =  ( X  ^m  Y ) )
2320adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  U. J  =  X )
2423oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  FilMap  f )  =  ( X  FilMap  f ) )
2524fveq1d 5689 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( U. J  FilMap  f ) `  L )  =  ( ( X 
FilMap  f ) `  L
) )
2625oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) )
2722, 26mpteq12dv 4247 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( U. J  ^m  U. L ) 
|->  ( J  fLim  (
( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y )  |->  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
2818, 27eqtrd 2436 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Filcfil 17830    FilMap cfm 17918    fLim cflim 17919    fLimf cflf 17920
This theorem is referenced by:  flfval  17975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-fbas 16654  df-topon 16921  df-fil 17831  df-flf 17925
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