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Theorem flffval 19521
Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, J    f, X    f, Y    f, L

Proof of Theorem flffval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 18490 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 fvssunirn 5710 . . . 4  |-  ( Fil `  Y )  C_  U. ran  Fil
32sseli 3349 . . 3  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  U.
ran  Fil )
4 unieq 4096 . . . . . 6  |-  ( x  =  J  ->  U. x  =  U. J )
5 unieq 4096 . . . . . 6  |-  ( y  =  L  ->  U. y  =  U. L )
64, 5oveqan12d 6109 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  ^m  U. y )  =  ( U. J  ^m  U. L ) )
7 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  x  =  J )
84adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  U. x  =  U. J )
98oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( U. x  FilMap  f )  =  ( U. J  FilMap  f ) )
10 simpr 458 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  y  =  L )
119, 10fveq12d 5694 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y
)  =  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) )
127, 11oveq12d 6108 . . . . 5  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( x  fLim  (
( U. x  FilMap  f ) `  y ) )  =  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )
136, 12mpteq12dv 4367 . . . 4  |-  ( ( x  =  J  /\  y  =  L )  ->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
14 df-flf 19472 . . . 4  |-  fLimf  =  ( x  e.  Top , 
y  e.  U. ran  Fil  |->  ( f  e.  ( U. x  ^m  U. y )  |->  ( x 
fLim  ( ( U. x  FilMap  f ) `  y ) ) ) )
15 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( U. J  ^m  U. L )  e.  _V
1615mptex 5945 . . . 4  |-  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) )  e.  _V
1713, 14, 16ovmpt2a 6220 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  U. ran  Fil )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
181, 3, 17syl2an 474 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( U. J  ^m  U. L )  |->  ( J 
fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
19 toponuni 18491 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
2019eqcomd 2446 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  U. J  =  X )
21 filunibas 19413 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  U. L  =  Y )
2220, 21oveqan12d 6109 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  ^m  U. L
)  =  ( X  ^m  Y ) )
2320adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  U. J  =  X )
2423oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( U. J  FilMap  f )  =  ( X  FilMap  f ) )
2524fveq1d 5690 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
( U. J  FilMap  f ) `  L )  =  ( ( X 
FilMap  f ) `  L
) )
2625oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLim  ( ( U. J  FilMap  f ) `  L ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) )
2722, 26mpteq12dv 4367 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  (
f  e.  ( U. J  ^m  U. L ) 
|->  ( J  fLim  (
( U. J  FilMap  f ) `  L ) ) )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y )  |->  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  f ) `  L ) ) ) )
2818, 27eqtrd 2473 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
) )  ->  ( J  fLimf  L )  =  ( f  e.  ( X  ^m  Y ) 
|->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  f ) `
 L ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   U.cuni 4088    e. cmpt 4347   ran crn 4837   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    ^m cmap 7210   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Filcfil 19377    FilMap cfm 19465    fLim cflim 19466    fLimf cflf 19467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-fbas 17773  df-topon 18465  df-fil 19378  df-flf 19472
This theorem is referenced by:  flfval  19522
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