Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flffval Structured version   Unicode version

Theorem flffval 20996
 Description: Given a topology and a filtered set, return the convergence function on the functions from the filtered set to the base set of the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 14-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
flffval TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem flffval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 19933 . . 3 TopOn
2 fvssunirn 5902 . . . 4
32sseli 3461 . . 3
4 unieq 4225 . . . . . 6
5 unieq 4225 . . . . . 6
64, 5oveqan12d 6322 . . . . 5
7 simpl 459 . . . . . 6
84adantr 467 . . . . . . . 8
98oveq1d 6318 . . . . . . 7
10 simpr 463 . . . . . . 7
119, 10fveq12d 5885 . . . . . 6
127, 11oveq12d 6321 . . . . 5
136, 12mpteq12dv 4500 . . . 4
14 df-flf 20947 . . . 4
15 ovex 6331 . . . . 5
1615mptex 6149 . . . 4
1713, 14, 16ovmpt2a 6439 . . 3
181, 3, 17syl2an 480 . 2 TopOn
19 toponuni 19934 . . . . 5 TopOn
2019eqcomd 2431 . . . 4 TopOn
21 filunibas 20888 . . . 4
2220, 21oveqan12d 6322 . . 3 TopOn
2320adantr 467 . . . . . 6 TopOn
2423oveq1d 6318 . . . . 5 TopOn
2524fveq1d 5881 . . . 4 TopOn
2625oveq2d 6319 . . 3 TopOn
2722, 26mpteq12dv 4500 . 2 TopOn
2818, 27eqtrd 2464 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1438   wcel 1869  cuni 4217   cmpt 4480   crn 4852  cfv 5599  (class class class)co 6303   cmap 7478  ctop 19909  TopOnctopon 19910  cfil 20852   cfm 20940   cflim 20941   cflf 20942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-fbas 18960  df-topon 19915  df-fil 20853  df-flf 20947 This theorem is referenced by:  flfval  20997
 Copyright terms: Public domain W3C validator