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Theorem flffbas 17980
Description: Limit points of a function can be defined using filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flffbas.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
flffbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o, s    o, F, s    o, J, s   
o, L, s    o, X, s    o, Y, s

Proof of Theorem flffbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flffbas.l . . . 4  |-  L  =  ( Y filGen B )
2 fgcl 17863 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
31, 2syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
4 isflf 17978 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
53, 4syl3an2 1218 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
61eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( Y filGen B ) )
7 elfg 17856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( t  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
873ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
9 imass2 5199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  t  ->  ( F " s )  C_  ( F " t ) )
10 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1211com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " t ) 
C_  o  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1413reximdv 2777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
1514ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
1615com23 74 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1716adantld 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
188, 17sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
206, 19syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  L  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
22 ssfg 17857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
2322, 1syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
2423sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
25243ad2antl2 1120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
2625ad2ant2r 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
s  e.  L )
27 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
( F " s
)  C_  o )
28 imaeq2 5158 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  ( F " t )  =  ( F " s
) )
2928sseq1d 3335 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( F " t
)  C_  o  <->  ( F " s )  C_  o
) )
3029rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  L  /\  ( F " s ) 
C_  o )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3126, 27, 30syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3231rexlimdvaa 2791 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) )
3321, 32impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  <->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3534ralbidv 2686 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
375, 36bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   fBascfbas 16644   filGencfg 16645  TopOnctopon 16914   Filcfil 17830    fLimf cflf 17920
This theorem is referenced by:  lmflf  17990  eltsms  18115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-top 16918  df-topon 16921  df-ntr 17039  df-nei 17117  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925
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