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Theorem flffbas 19699
Description: Limit points of a function can be defined using filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
flffbas.l  |-  L  =  ( Y filGen B )
Assertion
Ref Expression
flffbas  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Distinct variable groups:    o, s, A    B, o, s    o, F, s    o, J, s   
o, L, s    o, X, s    o, Y, s

Proof of Theorem flffbas
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flffbas.l . . . 4  |-  L  =  ( Y filGen B )
2 fgcl 19582 . . . 4  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
31, 2syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
4 isflf 19697 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
53, 4syl3an2 1253 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) ) ) )
61eleq2i 2532 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( Y filGen B ) )
7 elfg 19575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( t  e.  ( Y filGen B )  <-> 
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
873ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t ) ) )
9 imass2 5311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  t  ->  ( F " s )  C_  ( F " t ) )
10 sstr2 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " s ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1211com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F " t ) 
C_  o  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  (
s  C_  t  ->  ( F " s ) 
C_  o ) )
1413reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( F " t )  C_  o )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
1514ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
1615com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1716adantld 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( t  C_  Y  /\  E. s  e.  B  s  C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
188, 17sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  ( Y
filGen B )  ->  (
( F " t
)  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
206, 19syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
t  e.  L  -> 
( ( F "
t )  C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) )
2120rexlimdv 2944 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
22 ssfg 19576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
2322, 1syl6sseqr 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  L
)
2423sselda 3463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
25243ad2antl2 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  L )
2625ad2ant2r 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
s  e.  L )
27 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  -> 
( F " s
)  C_  o )
28 imaeq2 5272 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  s  ->  ( F " t )  =  ( F " s
) )
2928sseq1d 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  s  ->  (
( F " t
)  C_  o  <->  ( F " s )  C_  o
) )
3029rspcev 3177 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  L  /\  ( F " s ) 
C_  o )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3126, 27, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  A  e.  X
)  /\  ( s  e.  B  /\  ( F " s )  C_  o ) )  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )
3231rexlimdvaa 2946 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t )  C_  o
) )
3321, 32impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o  <->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) )
3433imbi2d 316 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  (
( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3534ralbidv 2845 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) )
3635pm5.32da 641 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. t  e.  L  ( F " t ) 
C_  o ) )  <-> 
( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s ) 
C_  o ) ) ) )
375, 36bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  B  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  <->  ( A  e.  X  /\  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  E. s  e.  B  ( F " s )  C_  o
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   "cima 4950   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   fBascfbas 17928   filGencfg 17929  TopOnctopon 18630   Filcfil 19549    fLimf cflf 19639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-map 7325  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-top 18634  df-topon 18637  df-ntr 18755  df-nei 18833  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644
This theorem is referenced by:  lmflf  19709  eltsms  19834
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