Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flfcntr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem flfcntr 21136
 Description: A continuous function's value is always in the trace of its filter limit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
flfcntr.c
flfcntr.b
flfcntr.j
flfcntr.a
flfcntr.1 t
flfcntr.y
Assertion
Ref Expression
flfcntr t

Proof of Theorem flfcntr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flfcntr.1 . . . . 5 t
2 flfcntr.j . . . . . . . 8
3 flfcntr.c . . . . . . . . 9
43toptopon 20025 . . . . . . . 8 TopOn
52, 4sylib 201 . . . . . . 7 TopOn
6 flfcntr.a . . . . . . 7
7 resttopon 20254 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
85, 6, 7syl2anc 673 . . . . . 6 t TopOn
9 cntop2 20334 . . . . . . . 8 t
101, 9syl 17 . . . . . . 7
11 flfcntr.b . . . . . . . 8
1211toptopon 20025 . . . . . . 7 TopOn
1310, 12sylib 201 . . . . . 6 TopOn
14 cnflf 21095 . . . . . 6 t TopOn TopOn t t
158, 13, 14syl2anc 673 . . . . 5 t t
161, 15mpbid 215 . . . 4 t
1716simprd 470 . . 3 t
183sscls 20148 . . . . . . 7
192, 6, 18syl2anc 673 . . . . . 6
20 flfcntr.y . . . . . 6
2119, 20sseldd 3419 . . . . 5
226, 20sseldd 3419 . . . . . 6
23 trnei 20985 . . . . . 6 TopOn t
245, 6, 22, 23syl3anc 1292 . . . . 5 t
2521, 24mpbid 215 . . . 4 t
26 oveq2 6316 . . . . . 6 t t t t
27 oveq2 6316 . . . . . . . 8 t t
2827fveq1d 5881 . . . . . . 7 t t
2928eleq2d 2534 . . . . . 6 t t
3026, 29raleqbidv 2987 . . . . 5 t t t t t
3130adantl 473 . . . 4 t t t t t
3225, 31rspcdv 3139 . . 3 t t t t
3317, 32mpd 15 . 2 t t t
34 neiflim 21067 . . . . 5 t TopOn t t
358, 20, 34syl2anc 673 . . . 4 t t
3620snssd 4108 . . . . . 6
373neitr 20273 . . . . . 6 t t
382, 6, 36, 37syl3anc 1292 . . . . 5 t t
3938oveq2d 6324 . . . 4 t t t t
4035, 39eleqtrd 2551 . . 3 t t
41 fveq2 5879 . . . . 5
4241eleq1d 2533 . . . 4 t t
4342adantl 473 . . 3 t t
4440, 43rspcdv 3139 . 2 t t t t
4533, 44mpd 15 1 t
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   wss 3390  csn 3959  cuni 4190  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ccl 20110  cnei 20190   ccn 20317  cfil 20938   cflim 21027   cflf 21028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033 This theorem is referenced by:  cnextfres  21162
 Copyright terms: Public domain W3C validator