Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flfcnp2 Structured version   Unicode version

Theorem flfcnp2 20376
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
flfcnp2.j TopOn
flfcnp2.k TopOn
flfcnp2.l
flfcnp2.a
flfcnp2.b
flfcnp2.r
flfcnp2.s
flfcnp2.o
Assertion
Ref Expression
flfcnp2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem flfcnp2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6298 . 2
2 flfcnp2.j . . . . 5 TopOn
3 flfcnp2.k . . . . 5 TopOn
4 txtopon 19960 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
52, 3, 4syl2anc 661 . . . 4 TopOn
6 flfcnp2.l . . . 4
7 flfcnp2.a . . . . . 6
8 flfcnp2.b . . . . . 6
9 opelxpi 5037 . . . . . 6
107, 8, 9syl2anc 661 . . . . 5
11 eqid 2467 . . . . 5
1210, 11fmptd 6056 . . . 4
13 flfcnp2.r . . . . . 6
14 flfcnp2.s . . . . . 6
15 eqid 2467 . . . . . . . 8
167, 15fmptd 6056 . . . . . . 7
17 eqid 2467 . . . . . . . 8
188, 17fmptd 6056 . . . . . . 7
19 nfcv 2629 . . . . . . . 8
20 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9
21 nffvmpt1 5880 . . . . . . . . 9
2220, 21nfop 4235 . . . . . . . 8
23 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
24 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
2523, 24opeq12d 4227 . . . . . . . 8
2619, 22, 25cbvmpt 4543 . . . . . . 7
272, 3, 6, 16, 18, 26txflf 20375 . . . . . 6
2813, 14, 27mpbir2and 920 . . . . 5
29 simpr 461 . . . . . . . . 9
3015fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9
3129, 7, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8
3217fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9
3329, 8, 32syl2anc 661 . . . . . . . 8
3431, 33opeq12d 4227 . . . . . . 7
3534mpteq2dva 4539 . . . . . 6
3635fveq2d 5876 . . . . 5
3728, 36eleqtrd 2557 . . . 4
38 flfcnp2.o . . . 4
39 flfcnp 20373 . . . 4 TopOn
405, 6, 12, 37, 38, 39syl32anc 1236 . . 3
41 eqidd 2468 . . . . 5
42 cnptop2 19612 . . . . . . . . 9
4338, 42syl 16 . . . . . . . 8
44 eqid 2467 . . . . . . . . 9
4544toptopon 19303 . . . . . . . 8 TopOn
4643, 45sylib 196 . . . . . . 7 TopOn
47 cnpf2 19619 . . . . . . 7 TopOn TopOn
485, 46, 38, 47syl3anc 1228 . . . . . 6
4948feqmptd 5927 . . . . 5
50 fveq2 5872 . . . . . 6
51 df-ov 6298 . . . . . 6
5250, 51syl6eqr 2526 . . . . 5
5310, 41, 49, 52fmptco 6065 . . . 4
5453fveq2d 5876 . . 3
5540, 54eleqtrd 2557 . 2
561, 55syl5eqel 2559 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cop 4039  cuni 4251   cmpt 4511   cxp 5003   ccom 5009  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  ctop 19263  TopOnctopon 19264   ccnp 19594   ctx 19929  cfil 20214   cflf 20304 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-map 7434  df-topgen 14716  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-cnp 19597  df-tx 19931  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309 This theorem is referenced by:  tsmsadd  20517
 Copyright terms: Public domain W3C validator