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Theorem flfcnp 19536
Description: A continuous function preserves filter limits. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flfcnp  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )

Proof of Theorem flfcnp
StepHypRef Expression
1 simprl 750 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2 flfval 19522 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
32adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
41, 3eleqtrd 2517 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
5 simprr 751 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
6 cnpflfi 19531 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G ) )
74, 5, 6syl2anc 656 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
8 cnptop2 18806 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
98ad2antll 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1110toptopon 18497 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 toponmax 18492 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  U. K  e.  K )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  U. K  e.  K )
15 simpl1 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 toponmax 18492 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  X  e.  J )
18 simpl2 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
19 filfbas 19380 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
21 cnpf2 18813 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G : X
--> U. K )
2215, 12, 5, 21syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G : X --> U. K )
23 simpl3 988 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  F : Y --> X )
24 fmco 19493 . . . . 5  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `
 L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
2514, 17, 20, 22, 23, 24syl32anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
2625oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
27 fco 5565 . . . . 5  |-  ( ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
2822, 23, 27syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
29 flfval 19522 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
3012, 18, 28, 29syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
31 fmfil 19476 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
3217, 20, 23, 31syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
33 flfval 19522 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
)  /\  G : X
--> U. K )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3412, 32, 22, 33syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G )  =  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  G ) `
 ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) ) ) )
3526, 30, 343eqtr4d 2483 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
367, 35eleqtrrd 2518 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   U.cuni 4088    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   fBascfbas 17763   Topctop 18457  TopOnctopon 18458    CnP ccnp 18788   Filcfil 19377    FilMap cfm 19465    fLim cflim 19466    fLimf cflf 19467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7212  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-top 18462  df-topon 18465  df-ntr 18583  df-nei 18661  df-cnp 18791  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472
This theorem is referenced by:  flfcnp2  19539  tsmsmhm  19679
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