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Theorem flfcnp 20483
Description: A continuous function preserves filter limits. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
flfcnp  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )

Proof of Theorem flfcnp
StepHypRef Expression
1 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
2 flfval 20469 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 F )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
41, 3eleqtrd 2533 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  A  e.  ( J  fLim  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
5 simprr 757 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )
6 cnpflfi 20478 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( J 
fLim  ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G ) )
74, 5, 6syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
8 cnptop2 19722 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A )  ->  K  e.  Top )
98ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  Top )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. K  =  U. K
1110toptopon 19412 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
129, 11sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
13 toponmax 19407 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  U. K  e.  K )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  U. K  e.  K )
15 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
16 toponmax 19407 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  X  e.  J )
18 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
19 filfbas 20327 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  L  e.  ( fBas `  Y )
)
2018, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  L  e.  ( fBas `  Y
) )
21 cnpf2 19729 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K
) `  A )
)  ->  G : X
--> U. K )
2215, 12, 5, 21syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  G : X --> U. K )
23 simpl3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  F : Y --> X )
24 fmco 20440 . . . . 5  |-  ( ( ( U. K  e.  K  /\  X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y
) )  /\  ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X ) )  ->  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `
 L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  (
( X  FilMap  F ) `
 L ) ) )
2514, 17, 20, 22, 23, 24syl32anc 1237 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L )  =  ( ( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) )
2625oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
27 fco 5731 . . . . 5  |-  ( ( G : X --> U. K  /\  F : Y --> X )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
2822, 23, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )
29 flfval 20469 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  ( G  o.  F ) : Y --> U. K )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
3012, 18, 28, 29syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  ( G  o.  F ) ) `  L ) ) )
31 fmfil 20423 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  J  /\  L  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  L )  e.  ( Fil `  X
) )
3217, 20, 23, 31syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
) )
33 flfval 20469 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  (
( X  FilMap  F ) `
 L )  e.  ( Fil `  X
)  /\  G : X
--> U. K )  -> 
( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G )  =  ( K  fLim  (
( U. K  FilMap  G ) `  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) ) )
3412, 32, 22, 33syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `  L ) ) `  G )  =  ( K  fLim  ( ( U. K  FilMap  G ) `
 ( ( X 
FilMap  F ) `  L
) ) ) )
3526, 30, 343eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  (
( K  fLimf  L ) `
 ( G  o.  F ) )  =  ( ( K  fLimf  ( ( X  FilMap  F ) `
 L ) ) `
 G ) )
367, 35eleqtrrd 2534 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  /\  ( A  e.  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  /\  G  e.  ( ( J  CnP  K ) `  A ) ) )  ->  ( G `  A )  e.  ( ( K  fLimf  L ) `  ( G  o.  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   U.cuni 4234    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   fBascfbas 18385   Topctop 19372  TopOnctopon 19373    CnP ccnp 19704   Filcfil 20324    FilMap cfm 20412    fLim cflim 20413    fLimf cflf 20414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-topon 19380  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-cnp 19707  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419
This theorem is referenced by:  flfcnp2  20486  tsmsmhm  20626
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