MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldpropd Structured version   Unicode version

Theorem fldpropd 16858
Description: If two structures have the same group components (properties), one is a field iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drngpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
drngpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
drngpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
drngpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
fldpropd  |-  ( ph  ->  ( K  e. Field  <->  L  e. Field ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    ph, x, y    x, L, y

Proof of Theorem fldpropd
StepHypRef Expression
1 drngpropd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 drngpropd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 drngpropd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 drngpropd.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
51, 2, 3, 4drngpropd 16857 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  DivRing  <->  L  e.  DivRing ) )
61, 2, 3, 4crngpropd 16675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  CRing  <->  L  e.  CRing ) )
75, 6anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  DivRing 
/\  K  e.  CRing )  <-> 
( L  e.  DivRing  /\  L  e.  CRing ) ) )
8 isfld 16839 . 2  |-  ( K  e. Field 
<->  ( K  e.  DivRing  /\  K  e.  CRing ) )
9 isfld 16839 . 2  |-  ( L  e. Field 
<->  ( L  e.  DivRing  /\  L  e.  CRing ) )
107, 8, 93bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( K  e. Field  <->  L  e. Field ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237   CRingccrg 16644   DivRingcdr 16830  Fieldcfield 16831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-cmn 16277  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-drng 16832  df-field 16833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator