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Theorem fldiv 11704
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intfrac2 11702 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1002 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 reflcl 11651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
87recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 resubcl 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
117, 10mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1211recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
14 nncn 10335 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
15 nnne0 10359 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1614, 15jca 532 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
18 divdir 10022 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
199, 13, 17, 18syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flcl 11650 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 11703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
287adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
29 nnre 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
3115adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
3228, 30, 31redivcld 10164 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  RR )
33 reflcl 11651 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  RR )
3534recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
3632, 34resubcld 9781 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
3736recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3811adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
3938, 30, 31redivcld 10164 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
4039recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4135, 37, 40addassd 9413 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4220, 27, 413eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4342fveq2d 5700 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
4424simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
4521, 44sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
46 fracge0 11659 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
4711, 46jca 532 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
48 nngt0 10356 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4929, 48jca 532 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
50 divge0 10203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5147, 49, 50syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5236, 39, 45, 51addge0d 9920 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
53 peano2rem 9680 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5554, 29, 15redivcld 10164 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
56 nnrecre 10363 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
5755, 56jca 532 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5857adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5936, 39, 58jca31 534 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) ) )
6024simp2d 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
6121, 60sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
62 fraclt1 11657 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
64 1re 9390 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65 ltdiv1 10198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6664, 65mp3an2 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6711, 49, 66syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6863, 67mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
6961, 68jca 532 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) ) )
70 leltadd 9828 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  < 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) ) )
7159, 69, 70sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
72 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
73 npcan 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7414, 72, 73sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
7574oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
7654recnd 9417 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
77 divdir 10022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7872, 77mp3an2 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7976, 14, 15, 78syl12anc 1216 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
8014, 15dividd 10110 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
8175, 79, 803eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8281adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8371, 82breqtrd 4321 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
8432flcld 11653 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
8536, 39readdcld 9418 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )
86 flbi2 11670 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8852, 83, 87mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
8943, 88eqtr2d 2476 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   ZZcz 10651   |_cfl 11645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fl 11647
This theorem is referenced by:  fldiv2  11705  modmulnn  11730  digit2  12002  bitsp1  13632
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