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Theorem fldiv 11967
Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by NM, 16-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fldiv  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )

Proof of Theorem fldiv
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( |_
`  A )  =  ( |_ `  A
)
2 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( A  -  ( |_ `  A ) )  =  ( A  -  ( |_ `  A ) )
31, 2intfrac2 11965 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) )  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  /\  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) ) )
43simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  =  ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
54adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  A  =  ( ( |_ `  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
65oveq1d 6310 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N ) )
7 reflcl 11913 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
87recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
10 resubcl 9895 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  -> 
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
117, 10mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
1211recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC )
14 nncn 10556 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
15 nnne0 10580 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
1614, 15jca 532 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
18 divdir 10242 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
199, 13, 17, 18syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /  N )  =  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
206, 19eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
21 flcl 11912 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
22 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  =  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  =  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
2422, 23intfracq 11966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( 0  <_  (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  /\  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) ) )
2524simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2621, 25sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) ) )
2726oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
287adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
29 nnre 10555 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
3029adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
3115adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
3228, 30, 31redivcld 10384 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  A )  /  N
)  e.  RR )
33 reflcl 11913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  e.  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  RR )
3534recnd 9634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  CC )
3632, 34resubcld 9999 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  RR )
3736recnd 9634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  e.  CC )
3811adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR )
3938, 30, 31redivcld 10384 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )
4039recnd 9634 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  CC )
4135, 37, 40addassd 9630 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  =  ( ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) ) ) )
4220, 27, 413eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  =  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )
4342fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  N ) )  =  ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) ) )
4424simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
4521, 44sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) ) )
46 fracge0 11921 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )
4711, 46jca 532 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) ) )
48 nngt0 10577 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
4929, 48jca 532 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
50 divge0 10423 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  -  ( |_ `  A ) ) )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5147, 49, 50syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )
5236, 39, 45, 51addge0d 10140 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( (
( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) )
53 peano2rem 9898 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5429, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
5554, 29, 15redivcld 10384 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  /  N )  e.  RR )
56 nnrecre 10584 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
5755, 56jca 532 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5857adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )
5936, 39, 58jca31 534 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) ) )
6024simp2d 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
6121, 60sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N ) )
62 fraclt1 11919 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1 )
64 1re 9607 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
65 ltdiv1 10418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6664, 65mp3an2 1312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6711, 49, 66syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  <  1  <->  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) ) )
6863, 67mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) )
6961, 68jca 532 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  <  ( 1  /  N ) ) )
70 leltadd 10048 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  e.  RR  /\  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  e.  RR )  /\  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  e.  RR  /\  ( 1  /  N
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  N )  /\  (
( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N )  < 
( 1  /  N
) )  ->  (
( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  < 
( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) ) )
7159, 69, 70sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
72 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
73 npcan 9841 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
7414, 72, 73sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
7574oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( N  /  N ) )
7654recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
77 divdir 10242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  1 )  /  N
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7872, 77mp3an2 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) ) )
7976, 14, 15, 78syl12anc 1226 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  /  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N
) ) )
8014, 15dividd 10330 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  /  N )  =  1 )
8175, 79, 803eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  /  N
)  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8281adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  +  ( 1  /  N ) )  =  1 )
8371, 82breqtrd 4477 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  <  1 )
8432flcld 11915 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ )
8536, 39readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )
86 flbi2 11933 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_
`  A ) )  /  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8784, 85, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( |_ `  ( ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) )  +  ( ( ( ( |_
`  A )  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) )  <->  ( 0  <_  ( ( ( ( |_ `  A
)  /  N )  -  ( |_ `  ( ( |_ `  A )  /  N
) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  /\  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) )  <  1 ) ) )
8852, 83, 87mpbir2and 920 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  +  ( ( ( ( |_ `  A )  /  N
)  -  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )  +  ( ( A  -  ( |_ `  A ) )  /  N ) ) ) )  =  ( |_
`  ( ( |_
`  A )  /  N ) ) )
8943, 88eqtr2d 2509 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( |_ `  (
( |_ `  A
)  /  N ) )  =  ( |_
`  ( A  /  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   |_cfl 11907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fl 11909
This theorem is referenced by:  fldiv2  11968  modmulnn  11993  digit2  12279  bitsp1  13957
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