Theorem fldiv 7497

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer.

Assertion

Ref	Expression
fldiv	|- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / N)) = (|_` (A / N)))

Proof of Theorem fldiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (|_` A) = (|_` A)
2		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (A - (|_` A)) = (A - (|_` A))
3	1, 2	intfrac2 7495	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (0 <_ (A - (|_` A)) /\ (A - (|_` A)) < 1 /\ A = ((|_` A) + (A - (|_` A)))))
4	3	simp3d 890	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> A = ((|_` A) + (A - (|_` A))))
5	4	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> A = ((|_` A) + (A - (|_` A))))
6	5	opreq1d 4897	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A / N) = (((|_` A) + (A - (|_` A))) / N))
7		reflcl 7466	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (|_` A) e. RR)
8	7	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (|_` A) e. CC)
9	8	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` A) e. CC)
10		resubcl 6601	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ (|_` A) e. RR) -> (A - (|_` A)) e. RR)
11	7, 10	mpdan 768	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - (|_` A)) e. RR)
12	11	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (A - (|_` A)) e. CC)
13	12	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A - (|_` A)) e. CC)
14		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N e. CC)
15		nnne0 7132	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> N =/= 0)
16	14, 15	jca 310	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N e. CC /\ N =/= 0))
17	16	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (N e. CC /\ N =/= 0))
18		divdir 6933	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. CC /\ (A - (|_` A)) e. CC /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> (((|_` A) + (A - (|_` A))) / N) = (((|_` A) / N) + ((A - (|_` A)) / N)))
19	9, 13, 17, 18	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` A) + (A - (|_` A))) / N) = (((|_` A) / N) + ((A - (|_` A)) / N)))
20	6, 19	eqtrd 1925	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A / N) = (((|_` A) / N) + ((A - (|_` A)) / N)))
21		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (|_` ((|_` A) / N)) = (|_` ((|_` A) / N))
22		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) = (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))
23	21, 22	intfracq 7496	. . . . . . 7 |- (((|_` A) e. ZZ /\ N e. NN) -> (0 <_ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) /\ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) <_ ((N - 1) / N) /\ ((|_` A) / N) = ((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))))))
24	23	simp3d 890	. . . . . 6 |- (((|_` A) e. ZZ /\ N e. NN) -> ((|_` A) / N) = ((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))))
25		flcl 7465	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (|_` A) e. ZZ)
26	24, 25	sylan 497	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((|_` A) / N) = ((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))))
27	26	opreq1d 4897	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` A) / N) + ((A - (|_` A)) / N)) = (((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))) + ((A - (|_` A)) / N)))
28	7	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` A) e. RR)
29		nnre 7112	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> N e. RR)
30	29	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> N e. RR)
31	15	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> N =/= 0)
32		redivcl 6978	. . . . . . . 8 |- (((|_` A) e. RR /\ N e. RR /\ N =/= 0) -> ((|_` A) / N) e. RR)
33	28, 30, 31, 32	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((|_` A) / N) e. RR)
34		reflcl 7466	. . . . . . 7 |- (((|_` A) / N) e. RR -> (|_` ((|_` A) / N)) e. RR)
35	33, 34	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / N)) e. RR)
36	35	recnd 6468	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / N)) e. CC)
37		resubcl 6601	. . . . . . 7 |- ((((|_` A) / N) e. RR /\ (|_` ((|_` A) / N)) e. RR) -> (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR)
38	33, 35, 37	syl11anc 524	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR)
39	38	recnd 6468	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. CC)
40	11	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A - (|_` A)) e. RR)
41		redivcl 6978	. . . . . . 7 |- (((A - (|_` A)) e. RR /\ N e. RR /\ N =/= 0) -> ((A - (|_` A)) / N) e. RR)
42	40, 30, 31, 41	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((A - (|_` A)) / N) e. RR)
43	42	recnd 6468	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((A - (|_` A)) / N) e. CC)
44		addass 6460	. . . . 5 |- (((|_` ((|_` A) / N)) e. CC /\ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. CC /\ ((A - (|_` A)) / N) e. CC) -> (((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))) + ((A - (|_` A)) / N)) = ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N))))
45	36, 39, 43, 44	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` ((|_` A) / N)) + (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N)))) + ((A - (|_` A)) / N)) = ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N))))
46	20, 27, 45	3eqtrd 1929	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A / N) = ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N))))
47	46	fveq2d 4685	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` (A / N)) = (|_` ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))))
48		flcl 7465	. . . . 5 |- (((|_` A) / N) e. RR -> (|_` ((|_` A) / N)) e. ZZ)
49	33, 48	syl 12	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / N)) e. ZZ)
50		readdcl 6455	. . . . 5 |- (((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR /\ ((A - (|_` A)) / N) e. RR) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) e. RR)
51	38, 42, 50	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) e. RR)
52		flbi2 7481	. . . 4 |- (((|_` ((|_` A) / N)) e. ZZ /\ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) e. RR) -> ((|_` ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))) = (|_` ((|_` A) / N)) <-> (0 <_ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) /\ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) < 1)))
53	49, 51, 52	syl11anc 524	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((|_` ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))) = (|_` ((|_` A) / N)) <-> (0 <_ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) /\ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) < 1)))
54	23	simp1d 888	. . . . 5 |- (((|_` A) e. ZZ /\ N e. NN) -> 0 <_ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))))
55	54, 25	sylan 497	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> 0 <_ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))))
56		divge0 7038	. . . . 5 |- ((((A - (|_` A)) e. RR /\ 0 <_ (A - (|_` A))) /\ (N e. RR /\ 0 < N)) -> 0 <_ ((A - (|_` A)) / N))
57		fracge0 7471	. . . . . 6 |- (A e. RR -> 0 <_ (A - (|_` A)))
58	11, 57	jca 310	. . . . 5 |- (A e. RR -> ((A - (|_` A)) e. RR /\ 0 <_ (A - (|_` A))))
59		nngt0 7129	. . . . . 6 |- (N e. NN -> 0 < N)
60	29, 59	jca 310	. . . . 5 |- (N e. NN -> (N e. RR /\ 0 < N))
61	56, 58, 60	syl2an 503	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> 0 <_ ((A - (|_` A)) / N))
62		addge0 6837	. . . 4 |- ((((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR /\ ((A - (|_` A)) / N) e. RR) /\ (0 <_ (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) /\ 0 <_ ((A - (|_` A)) / N))) -> 0 <_ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))
63	38, 42, 55, 61, 62	syl22anc 1101	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> 0 <_ ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))
64		peano2rem 6605	. . . . . . . . . 10 |- (N e. RR -> (N - 1) e. RR)
65	29, 64	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (N e. NN -> (N - 1) e. RR)
66		redivcl 6978	. . . . . . . . 9 |- (((N - 1) e. RR /\ N e. RR /\ N =/= 0) -> ((N - 1) / N) e. RR)
67	65, 29, 15, 66	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> ((N - 1) / N) e. RR)
68		nnrecre 7136	. . . . . . . 8 |- (N e. NN -> (1 / N) e. RR)
69	67, 68	jca 310	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (((N - 1) / N) e. RR /\ (1 / N) e. RR))
70	69	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((N - 1) / N) e. RR /\ (1 / N) e. RR))
71	38, 42, 70	jca31 311	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR /\ ((A - (|_` A)) / N) e. RR) /\ (((N - 1) / N) e. RR /\ (1 / N) e. RR)))
72	23	simp2d 889	. . . . . . 7 |- (((|_` A) e. ZZ /\ N e. NN) -> (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) <_ ((N - 1) / N))
73	72, 25	sylan 497	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) <_ ((N - 1) / N))
74		fraclt1 7470	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (A - (|_` A)) < 1)
75	74	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (A - (|_` A)) < 1)
76		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
77		ltdiv1 7031	. . . . . . . . 9 |- (((A - (|_` A)) e. RR /\ 1 e. RR /\ (N e. RR /\ 0 < N)) -> ((A - (|_` A)) < 1 <-> ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N)))
78	76, 77	mp3an2 1179	. . . . . . . 8 |- (((A - (|_` A)) e. RR /\ (N e. RR /\ 0 < N)) -> ((A - (|_` A)) < 1 <-> ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N)))
79	78, 11, 60	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((A - (|_` A)) < 1 <-> ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N)))
80	75, 79	mpbid 212	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N))
81	73, 80	jca 310	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) <_ ((N - 1) / N) /\ ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N)))
82		leltadd 6830	. . . . 5 |- ((((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) e. RR /\ ((A - (|_` A)) / N) e. RR) /\ (((N - 1) / N) e. RR /\ (1 / N) e. RR)) -> (((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) <_ ((N - 1) / N) /\ ((A - (|_` A)) / N) < (1 / N)) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) < (((N - 1) / N) + (1 / N))))
83	71, 81, 82	sylc 83	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) < (((N - 1) / N) + (1 / N)))
84		npcan 6559	. . . . . . . 8 |- ((N e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N - 1) + 1) = N)
85		ax1cn 6422	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
86	84, 14, 85	sylancl 525	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> ((N - 1) + 1) = N)
87	86	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (((N - 1) + 1) / N) = (N / N))
88	65	recnd 6468	. . . . . . 7 |- (N e. NN -> (N - 1) e. CC)
89		divdir 6933	. . . . . . . 8 |- (((N - 1) e. CC /\ 1 e. CC /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> (((N - 1) + 1) / N) = (((N - 1) / N) + (1 / N)))
90	85, 89	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- (((N - 1) e. CC /\ (N e. CC /\ N =/= 0)) -> (((N - 1) + 1) / N) = (((N - 1) / N) + (1 / N)))
91	88, 14, 15, 90	syl12anc 1098	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (((N - 1) + 1) / N) = (((N - 1) / N) + (1 / N)))
92		divid 6942	. . . . . . 7 |- ((N e. CC /\ N =/= 0) -> (N / N) = 1)
93	14, 15, 92	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (N e. NN -> (N / N) = 1)
94	87, 91, 93	3eqtr3d 1934	. . . . 5 |- (N e. NN -> (((N - 1) / N) + (1 / N)) = 1)
95	94	adantl 424	. . . 4 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (((N - 1) / N) + (1 / N)) = 1)
96	83, 95	breqtrd 3361	. . 3 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)) < 1)
97	53, 63, 96	mpbir2and 802	. 2 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` ((|_` A) / N)) + ((((|_` A) / N) - (|_` ((|_` A) / N))) + ((A - (|_` A)) / N)))) = (|_` ((|_` A) / N)))
98	47, 97	eqtr2d 1926	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN) -> (|_` ((|_` A) / N)) = (|_` (A / N)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  |_cfl 7462

This theorem is referenced by:  fldiv2 7498  modmulnn 7510  digit2 7904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463

Copyright terms: Public domain