MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fldidom Structured version   Unicode version

Theorem fldidom 17298
Description: A field is an integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fldidom  |-  ( R  e. Field  ->  R  e. IDomn )

Proof of Theorem fldidom
StepHypRef Expression
1 isfld 16764 . . 3  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
21simprbi 461 . 2  |-  ( R  e. Field  ->  R  e.  CRing )
31simplbi 457 . . 3  |-  ( R  e. Field  ->  R  e.  DivRing )
4 drngdomn 17296 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e. Domn )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( R  e. Field  ->  R  e. Domn )
6 isidom 17297 . 2  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
72, 5, 6sylanbrc 657 1  |-  ( R  e. Field  ->  R  e. IDomn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   CRingccrg 16577   DivRingcdr 16755  Fieldcfield 16756  Domncdomn 17272  IDomncidom 17273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-tpos 6734  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-0g 14362  df-mnd 15397  df-grp 15524  df-minusg 15525  df-mgp 16565  df-rng 16579  df-ur 16581  df-oppr 16648  df-dvdsr 16666  df-unit 16667  df-invr 16697  df-drng 16757  df-field 16758  df-nzr 17261  df-rlreg 17275  df-domn 17276  df-idom 17277
This theorem is referenced by:  znidomb  17835  ply1pid  21535  lgsqrlem1  22564  lgsqrlem2  22565  lgsqrlem3  22566  lgsqrlem4  22567
  Copyright terms: Public domain W3C validator