Theorem flddmn 16206

Description: A field is a domain.

Assertion

Ref	Expression
flddmn	|- (K e. Fld -> K e. Dmn)

Proof of Theorem flddmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngpr 16201	. . 3 |- (K e. DivRing -> K e. PrRing)
2		id 73	. . 3 |- (K e. CRing -> K e. CRing)
3	1, 2	anim12i 360	. 2 |- ((K e. DivRing /\ K e. CRing) -> (K e. PrRing /\ K e. CRing))
4		isfld2 16153	. 2 |- (K e. Fld <-> (K e. DivRing /\ K e. CRing))
5		isdmn2 16203	. 2 |- (K e. Dmn <-> (K e. PrRing /\ K e. CRing))
6	3, 4, 5	3imtr4i 236	1 |- (K e. Fld -> K e. Dmn)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  DivRingcdrng 9491  Fldcfld 10397  CRingccring 16143  PrRingcprrng 16194  Dmncdmn 16195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-ring 9464  df-drng 9492  df-ass 10360  df-exid 10362  df-mgm 10366  df-sgr 10378  df-mnd 10385  df-fld 10398  df-cring 16144  df-idl 16158  df-pridl 16159  df-prrng 16196  df-dmn 16197

Copyright terms: Public domain