Theorem flcld 11644

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 11641	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1761   ` cfv 5415   RRcr 9277   ZZcz 10642   |_cfl 11636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fl 11638

This theorem is referenced by:  flge  11651  flwordi  11656  flword2  11657  fladdz  11666  flhalf  11670  ceicl  11678  quoremz  11690  intfracq  11694  fldiv  11695  moddiffl  11715  moddifz  11716  zmodcl  11723  modadd1  11741  modmul1  11748  modsubdir  11763  iexpcyc  11966  absrdbnd  12825  limsupgre  12955  climrlim2  13021  dvdsmod  13586  divalgmod  13606  bitsp1  13623  bitsmod  13628  bitscmp  13630  bitsuz  13666  modgcd  13716  bezoutlem3  13720  hashdvds  13846  prmdiv  13856  odzdvds  13863  fldivp1  13955  pcfac  13957  pcbc  13958  prmreclem4  13976  vdwnnlem3  14054  odmod  16042  gexdvds  16076  zringlpirlem3  17864  zlpirlem3  17869  zcld  20349  ovolunlem1a  20938  opnmbllem  21040  mbfi1fseqlem5  21156  dvfsumlem1  21457  dvfsumlem3  21459  sineq0  21942  efif1olem2  21958  ppiltx  22474  dvdsflf1o  22486  ppiub  22502  fsumvma2  22512  logfac2  22515  chpchtsum  22517  pcbcctr  22574  bposlem1  22582  bposlem3  22584  bposlem4  22585  bposlem5  22586  bposlem6  22587  lgseisenlem4  22650  lgseisen  22651  lgsquadlem1  22652  lgsquadlem2  22653  chebbnd1lem2  22678  chebbnd1lem3  22679  rplogsumlem2  22693  rpvmasumlem  22695  dchrisumlema  22696  dchrisumlem3  22699  dchrvmasumiflem1  22709  dchrisum0lem1  22724  rplogsum  22735  mulog2sumlem2  22743  pntrsumo1  22773  pntrlog2bndlem2  22786  pntrlog2bndlem4  22788  pntpbnd1  22794  pntpbnd2  22795  pntlemg  22806  pntlemq  22809  pntlemr  22810  pntlemf  22813  ostth2lem2  22842  gxmodid  23701  dya2ub  26621  dya2icoseg  26628  ltflcei  28344  opnmbllem0  28352  dvtanlem  28366  itg2addnclem2  28369  cntotbnd  28620  irrapxlem1  29088  irrapxlem2  29089  irrapxlem3  29090  irrapxlem4  29091  pellexlem5  29099  pellfund14  29164  sineq0ALT  31507