Theorem flcld 11899

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 11896	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   ` cfv 5586   RRcr 9487   ZZcz 10860   |_cfl 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fl 11893

This theorem is referenced by:  flge  11906  flwordi  11912  flword2  11913  fladdz  11922  flhalf  11926  ceicl  11934  quoremz  11946  intfracq  11950  fldiv  11951  moddiffl  11971  moddifz  11972  zmodcl  11979  modadd1  11997  modmul1  12004  modsubdir  12019  iexpcyc  12236  absrdbnd  13133  limsupgre  13263  climrlim2  13329  dvdsmod  13898  divalgmod  13919  bitsp1  13936  bitsmod  13941  bitscmp  13943  bitsuz  13979  modgcd  14029  bezoutlem3  14033  hashdvds  14160  prmdiv  14170  odzdvds  14177  fldivp1  14271  pcfac  14273  pcbc  14274  prmreclem4  14292  vdwnnlem3  14370  odmod  16366  gexdvds  16400  zringlpirlem3  18278  zlpirlem3  18283  zcld  21053  ovolunlem1a  21642  opnmbllem  21745  mbfi1fseqlem5  21861  dvfsumlem1  22162  dvfsumlem3  22164  sineq0  22647  efif1olem2  22663  ppiltx  23179  dvdsflf1o  23191  ppiub  23207  fsumvma2  23217  logfac2  23220  chpchtsum  23222  pcbcctr  23279  bposlem1  23287  bposlem3  23289  bposlem4  23290  bposlem5  23291  bposlem6  23292  lgseisenlem4  23355  lgseisen  23356  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem2  23358  chebbnd1lem2  23383  chebbnd1lem3  23384  rplogsumlem2  23398  rpvmasumlem  23400  dchrisumlema  23401  dchrisumlem3  23404  dchrvmasumiflem1  23414  dchrisum0lem1  23429  rplogsum  23440  mulog2sumlem2  23448  pntrsumo1  23478  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem4  23493  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntlemg  23511  pntlemq  23514  pntlemr  23515  pntlemf  23518  ostth2lem2  23547  gxmodid  24957  dya2ub  27881  dya2icoseg  27888  ltflcei  29620  opnmbllem0  29627  dvtanlem  29641  itg2addnclem2  29644  cntotbnd  29895  irrapxlem1  30362  irrapxlem2  30363  irrapxlem3  30364  irrapxlem4  30365  pellexlem5  30373  pellfund14  30438  isprm7  30795  hashnzfz2  30826  hashnzfzclim  30827  lefldiveq  31059  ltmod  31180  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  dirkertrigeqlem3  31400  dirkertrigeq  31401  fourierdlem4  31411  fourierdlem7  31414  fourierdlem19  31426  fourierdlem26  31433  fourierdlem41  31448  fourierdlem47  31454  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem51  31458  fourierdlem63  31470  fourierdlem65  31472  fourierdlem71  31478  fourierdlem89  31496  fourierdlem90  31497  fourierdlem91  31498  sineq0ALT  32817