Theorem flcld 11162

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 11159	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   ` cfv 5413   RRcr 8945   ZZcz 10238   |_cfl 11156

This theorem is referenced by:  flge  11169  flwordi  11174  flword2  11175  fladdz  11182  flhalf  11186  ceicl  11187  quoremz  11191  intfracq  11195  fldiv  11196  moddiffl  11214  moddifz  11215  zmodcl  11221  modadd1  11233  modmul1  11234  modsubdir  11240  iexpcyc  11440  absrdbnd  12100  limsupgre  12230  climrlim2  12296  dvdsmod  12861  divalgmod  12881  bitsp1  12898  bitsmod  12903  bitscmp  12905  bitsuz  12941  modgcd  12991  bezoutlem3  12995  hashdvds  13119  prmdiv  13129  odzdvds  13136  fldivp1  13221  pcfac  13223  pcbc  13224  prmreclem4  13242  vdwnnlem3  13320  odmod  15139  gexdvds  15173  zlpirlem3  16725  zcld  18797  ovolunlem1a  19345  opnmbllem  19446  mbfi1fseqlem5  19564  dvfsumlem1  19863  dvfsumlem3  19865  sineq0  20382  efif1olem2  20398  ppiltx  20913  dvdsflf1o  20925  ppiub  20941  fsumvma2  20951  logfac2  20954  chpchtsum  20956  pcbcctr  21013  bposlem1  21021  bposlem3  21023  bposlem4  21024  bposlem5  21025  bposlem6  21026  lgseisenlem4  21089  lgseisen  21090  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  chebbnd1lem2  21117  chebbnd1lem3  21118  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem3  21138  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0lem1  21163  rplogsum  21174  mulog2sumlem2  21182  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemg  21245  pntlemq  21248  pntlemr  21249  pntlemf  21252  ostth2lem2  21281  gxmodid  21820  dya2ub  24573  dya2icoseg  24580  ltflcei  26140  mblfinlem  26143  itg2addnclem2  26156  cntotbnd  26395  irrapxlem1  26775  irrapxlem2  26776  irrapxlem3  26777  irrapxlem4  26778  pellexlem5  26786  pellfund14  26851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fl 11157