Theorem flcld 12031

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 12028	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1870   ` cfv 5601   RRcr 9537   ZZcz 10937   |_cfl 12023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12025

This theorem is referenced by:  flge  12038  flwordi  12044  flword2  12045  fladdz  12055  flhalf  12059  ceicl  12067  quoremz  12079  intfracq  12083  fldiv  12084  moddiffl  12105  moddifz  12106  zmodcl  12113  modadd1  12131  modmul1  12140  modsubdir  12155  iexpcyc  12376  absrdbnd  13383  limsupgre  13520  limsupgreOLD  13521  climrlim2  13589  dvdsmod  14340  divalgmod  14362  bitsp1  14379  bitsmod  14384  bitscmp  14386  bitsuz  14422  modgcd  14474  bezoutlem3  14479  hashdvds  14692  prmdiv  14702  odzdvds  14709  fldivp1  14805  pcfac  14807  pcbc  14808  prmreclem4  14826  vdwnnlem3  14910  odmod  17137  gexdvds  17171  zringlpirlem3  18989  zcld  21742  ovolunlem1a  22327  opnmbllem  22436  mbfi1fseqlem5  22554  dvfsumlem1  22855  dvfsumlem3  22857  sineq0  23341  efif1olem2  23357  ppiltx  23967  dvdsflf1o  23979  ppiub  23995  fsumvma2  24005  logfac2  24008  chpchtsum  24010  pcbcctr  24067  bposlem1  24075  bposlem3  24077  bposlem4  24078  bposlem5  24079  bposlem6  24080  lgseisenlem4  24143  lgseisen  24144  lgsquadlem1  24145  lgsquadlem2  24146  chebbnd1lem2  24171  chebbnd1lem3  24172  rplogsumlem2  24186  rpvmasumlem  24188  dchrisumlema  24189  dchrisumlem3  24192  dchrvmasumiflem1  24202  dchrisum0lem1  24217  rplogsum  24228  mulog2sumlem2  24236  pntrsumo1  24266  pntrlog2bndlem2  24279  pntrlog2bndlem4  24281  pntpbnd1  24287  pntpbnd2  24288  pntlemg  24299  pntlemq  24302  pntlemr  24303  pntlemf  24306  ostth2lem2  24335  gxmodid  25852  dya2ub  28931  dya2icoseg  28938  ltflcei  31637  opnmbllem0  31680  dvtanlemOLD  31695  itg2addnclem2  31698  cntotbnd  31832  irrapxlem1  35376  irrapxlem2  35377  irrapxlem3  35378  irrapxlem4  35379  pellexlem5  35387  pellfund14  35452  isprm7  36297  hashnzfz2  36307  hashnzfzclim  36308  sineq0ALT  36974  lefldiveq  37115  ltmod  37290  ioodvbdlimc1lem2  37376  ioodvbdlimc2lem  37378  dirkertrigeqlem3  37531  dirkertrigeq  37532  dirkercncflem4  37537  fourierdlem4  37542  fourierdlem7  37545  fourierdlem19  37557  fourierdlem26  37564  fourierdlem41  37579  fourierdlem47  37585  fourierdlem48  37586  fourierdlem49  37587  fourierdlem51  37589  fourierdlem63  37601  fourierdlem65  37603  fourierdlem71  37609  fourierdlem89  37627  fourierdlem90  37628  fourierdlem91  37629  fldivmod  39082  modn0mul  39084  fllogbd  39132  fldivexpfllog2  39137  logbpw2m1  39139  fllog2  39140  nnpw2blen  39152  blen1b  39160  nnolog2flm1  39162  blennngt2o2  39164  blennn0e2  39166  digvalnn0  39171  dig2nn1st  39177  dig2nn0  39183  dig2bits  39186  dignn0flhalflem2  39188