Theorem flcld 11916

Description: The floor (greatest integer) function is an integer (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
flcld.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
flcld	|- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Proof of Theorem flcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		flcl 11913	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> ( |_ ` A ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1823   ` cfv 5570   RRcr 9480   ZZcz 10860   |_cfl 11908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fl 11910

This theorem is referenced by:  flge  11923  flwordi  11929  flword2  11930  fladdz  11940  flhalf  11944  ceicl  11952  quoremz  11964  intfracq  11968  fldiv  11969  moddiffl  11990  moddifz  11991  zmodcl  11998  modadd1  12016  modmul1  12025  modsubdir  12040  iexpcyc  12257  absrdbnd  13259  limsupgre  13389  climrlim2  13455  dvdsmod  14130  divalgmod  14151  bitsp1  14168  bitsmod  14173  bitscmp  14175  bitsuz  14211  modgcd  14261  bezoutlem3  14265  hashdvds  14392  prmdiv  14402  odzdvds  14409  fldivp1  14503  pcfac  14505  pcbc  14506  prmreclem4  14524  vdwnnlem3  14602  odmod  16772  gexdvds  16806  zringlpirlem3  18702  zcld  21487  ovolunlem1a  22076  opnmbllem  22179  mbfi1fseqlem5  22295  dvfsumlem1  22596  dvfsumlem3  22598  sineq0  23083  efif1olem2  23099  ppiltx  23652  dvdsflf1o  23664  ppiub  23680  fsumvma2  23690  logfac2  23693  chpchtsum  23695  pcbcctr  23752  bposlem1  23760  bposlem3  23762  bposlem4  23763  bposlem5  23764  bposlem6  23765  lgseisenlem4  23828  lgseisen  23829  lgsquadlem1  23830  lgsquadlem2  23831  chebbnd1lem2  23856  chebbnd1lem3  23857  rplogsumlem2  23871  rpvmasumlem  23873  dchrisumlema  23874  dchrisumlem3  23877  dchrvmasumiflem1  23887  dchrisum0lem1  23902  rplogsum  23913  mulog2sumlem2  23921  pntrsumo1  23951  pntrlog2bndlem2  23964  pntrlog2bndlem4  23966  pntpbnd1  23972  pntpbnd2  23973  pntlemg  23984  pntlemq  23987  pntlemr  23988  pntlemf  23991  ostth2lem2  24020  gxmodid  25482  dya2ub  28481  dya2icoseg  28488  ltflcei  30286  opnmbllem0  30293  dvtanlem  30307  itg2addnclem2  30310  cntotbnd  30535  irrapxlem1  31000  irrapxlem2  31001  irrapxlem3  31002  irrapxlem4  31003  pellexlem5  31011  pellfund14  31076  isprm7  31436  hashnzfz2  31470  hashnzfzclim  31471  lefldiveq  31725  ltmod  31886  ioodvbdlimc1lem2  31971  ioodvbdlimc2lem  31973  dirkertrigeqlem3  32124  dirkertrigeq  32125  dirkercncflem4  32130  fourierdlem4  32135  fourierdlem7  32138  fourierdlem19  32150  fourierdlem26  32157  fourierdlem41  32172  fourierdlem47  32178  fourierdlem48  32179  fourierdlem49  32180  fourierdlem51  32182  fourierdlem63  32194  fourierdlem65  32196  fourierdlem71  32202  fourierdlem89  32220  fourierdlem90  32221  fourierdlem91  32222  fldivmod  33404  modn0mul  33406  fllogbd  33454  fldivexpfllog2  33459  logbpw2m1  33461  fllog2  33462  nnpw2blen  33474  blen1b  33482  nnolog2flm1  33484  blennngt2o2  33486  blennn0e2  33488  digvalnn0  33493  dig2nn1st  33499  dig2nn0  33505  dig2bits  33508  dignn0flhalflem2  33510  sineq0ALT  34157