Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Unicode version

Theorem flcidc 29528
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
flcidc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
flcidc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
flcidc.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
flcidc  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F    S, i,
j    i, K, j    B, j
Allowed substitution hints:    B( i)    F( j)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
21fveq1d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
54snssd 4016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { K }  C_  S )
65sselda 3354 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
i  e.  S )
7 eqeq1 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  K  <->  i  =  K ) )
87ifbid 3809 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 )  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
9 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )
10 1ex 9379 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
11 c0ex 9378 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
1210, 11ifex 3856 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  _V
138, 9, 12fvmpt 5772 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  S  ->  (
( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
146, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
153, 14eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
16 elsni 3900 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { K }  ->  i  =  K )
17 iftrue 3795 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { K }  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
2015, 19eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  1 )
2120oveq1d 6104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
22 flcidc.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
236, 22syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  B  e.  CC )
2423mulid2d 9402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
2521, 24eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  B )
2625sumeq2dv 13178 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  { K } B )
27 ax-1cn 9338 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
28 0cn 9376 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2927, 28keepel 3855 . . . . 5  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  CC
3015, 29syl6eqel 2529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
3130, 23mulcld 9404 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  e.  CC )
322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
33 eldifi 3476 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  -> 
i  e.  S )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
i  e.  S )
3534, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
3632, 35eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
37 eldifn 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  e.  { K } )
38 elsn 3889 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { K }  <->  i  =  K )
3937, 38sylnib 304 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  =  K
)
40 iffalse 3797 . . . . . . . 8  |-  ( -.  i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4241adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4336, 42eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  0 )
4443oveq1d 6104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B ) )
4534, 22syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  B  e.  CC )
4645mul02d 9565 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( 0  x.  B
)  =  0 )
4744, 46eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  0 )
48 flcidc.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
495, 31, 47, 48fsumss 13200 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  S  (
( F `  i
)  x.  B ) )
50 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  (
j  e.  S  <->  K  e.  S ) )
5150anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( ph  /\  j  e.  S )  <->  ( ph  /\  K  e.  S ) ) )
52 csbeq1 3289 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  [_ j  /  i ]_ B  =  [_ K  /  i ]_ B )
5352eleq1d 2507 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( [_ j  /  i ]_ B  e.  CC  <->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
)
5451, 53imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
55 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  S )
56 nfcsb1v 3302 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ B
5756nfel1 2587 . . . . . . . 8  |-  F/ i
[_ j  /  i ]_ B  e.  CC
5855, 57nfim 1853 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
59 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  S  <->  j  e.  S ) )
6059anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  S )  <->  ( ph  /\  j  e.  S ) ) )
61 csbeq1a 3295 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  B  =  [_ j  /  i ]_ B )
6261eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
i ]_ B  e.  CC ) )
6360, 62imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
6458, 63, 22chvar 1957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
6554, 64vtoclg 3028 . . . . 5  |-  ( K  e.  S  ->  (
( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) )
6665anabsi7 815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
674, 66mpdan 668 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
68 sumsns 13217 . . 3  |-  ( ( K  e.  S  /\  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
694, 67, 68syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
7026, 49, 693eqtr3d 2481 1  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   [_csb 3286    \ cdif 3323   ifcif 3789   {csn 3875    e. cmpt 4348   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Fincfn 7308   CCcc 9278   0cc0 9280   1c1 9281    x. cmul 9285   sum_csu 13161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator