Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flcidc Structured version   Unicode version

Theorem flcidc 36011
Description: Finite linear combinations with an indicator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
flcidc.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
flcidc.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
flcidc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
flcidc.b  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
flcidc  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Distinct variable groups:    ph, i, j   
i, F    S, i,
j    i, K, j    B, j
Allowed substitution hints:    B( i)    F( j)

Proof of Theorem flcidc
StepHypRef Expression
1 flcidc.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) ) )
21fveq1d 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
4 flcidc.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  S )
54snssd 4145 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { K }  C_  S )
65sselda 3464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
i  e.  S )
7 eqeq1 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  i  ->  (
j  =  K  <->  i  =  K ) )
87ifbid 3933 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 )  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
9 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )  =  ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K , 
1 ,  0 ) )
10 1ex 9646 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
11 c0ex 9645 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
1210, 11ifex 3979 . . . . . . . . 9  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  _V
138, 9, 12fvmpt 5965 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  S  ->  (
( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
146, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
153, 14eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
16 elsni 4023 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  { K }  ->  i  =  K )
1716iftrued 3919 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { K }  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1817adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  1 )
1915, 18eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  =  1 )
2019oveq1d 6321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
21 flcidc.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )
226, 21syldan 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  ->  B  e.  CC )
2322mulid2d 9669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
2420, 23eqtrd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  B )
2524sumeq2dv 13769 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  { K } B )
26 ax-1cn 9605 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
27 0cn 9643 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
2826, 27keepel 3978 . . . . 5  |-  if ( i  =  K , 
1 ,  0 )  e.  CC
2915, 28syl6eqel 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( F `  i
)  e.  CC )
3029, 22mulcld 9671 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  { K } )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  e.  CC )
312adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  ( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `  i
) )
32 eldifi 3587 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  -> 
i  e.  S )
3332adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
i  e.  S )
3433, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( j  e.  S  |->  if ( j  =  K ,  1 ,  0 ) ) `
 i )  =  if ( i  =  K ,  1 ,  0 ) )
3531, 34eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  if ( i  =  K , 
1 ,  0 ) )
36 eldifn 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  e.  { K } )
37 elsn 4012 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { K }  <->  i  =  K )
3836, 37sylnib 305 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  -.  i  =  K
)
3938iffalsed 3922 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( S  \  { K } )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4039adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  if ( i  =  K ,  1 ,  0 )  =  0 )
4135, 40eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( F `  i
)  =  0 )
4241oveq1d 6321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  ( 0  x.  B ) )
4333, 21syldan 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  ->  B  e.  CC )
4443mul02d 9839 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( 0  x.  B
)  =  0 )
4542, 44eqtrd 2463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( S  \  { K } ) )  -> 
( ( F `  i )  x.  B
)  =  0 )
46 flcidc.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
475, 30, 45, 46fsumss 13791 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K }  ( ( F `  i )  x.  B )  =  sum_ i  e.  S  (
( F `  i
)  x.  B ) )
48 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  (
j  e.  S  <->  K  e.  S ) )
4948anbi2d 708 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  (
( ph  /\  j  e.  S )  <->  ( ph  /\  K  e.  S ) ) )
50 csbeq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  K  ->  [_ j  /  i ]_ B  =  [_ K  /  i ]_ B )
5150eleq1d 2491 . . . . . . 7  |-  ( j  =  K  ->  ( [_ j  /  i ]_ B  e.  CC  <->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
)
5249, 51imbi12d 321 . . . . . 6  |-  ( j  =  K  ->  (
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) 
<->  ( ( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
53 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  S )
54 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i [_ j  /  i ]_ B
5554nfel1 2596 . . . . . . . 8  |-  F/ i
[_ j  /  i ]_ B  e.  CC
5653, 55nfim 1980 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
57 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  S  <->  j  e.  S ) )
5857anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  S )  <->  ( ph  /\  j  e.  S ) ) )
59 csbeq1a 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  B  =  [_ j  /  i ]_ B )
6059eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
i ]_ B  e.  CC ) )
6158, 60imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  S )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC ) ) )
6256, 61, 21chvar 2071 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  S )  ->  [_ j  /  i ]_ B  e.  CC )
6352, 62vtoclg 3139 . . . . 5  |-  ( K  e.  S  ->  (
( ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC ) )
6463anabsi7 826 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  K  e.  S )  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
654, 64mpdan 672 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )
66 sumsns 13811 . . 3  |-  ( ( K  e.  S  /\  [_ K  /  i ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
674, 65, 66syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  { K } B  =  [_ K  /  i ]_ B
)
6825, 47, 673eqtr3d 2471 1  |-  ( ph  -> 
sum_ i  e.  S  ( ( F `  i )  x.  B
)  =  [_ K  /  i ]_ B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   [_csb 3395    \ cdif 3433   ifcif 3911   {csn 3998    |-> cmpt 4482   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   CCcc 9545   0cc0 9547   1c1 9548    x. cmul 9552   sum_csu 13752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-sup 7966  df-oi 8035  df-card 8382  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-sum 13753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator