Theorem flbi 11908

Description: A condition equivalent to floor. (Contributed by NM, 11-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
flbi	|- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem flbi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flval 11888	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
2	1	eqeq1d 2462	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
3	2	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
4		rebtwnz 11170	. . . 4 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
5		breq1 4443	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( x <_ A <-> B <_ A ) )
6		oveq1 6282	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( x + 1 ) = ( B + 1 ) )
7	6	breq2d 4452	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( B + 1 ) ) )
8	5, 7	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( x = B -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )
9	8	riota2 6259	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
10	4, 9	sylan2 474	. . 3 |- ( ( B e. ZZ /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
11	10	ancoms 453	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = B ) )
12	3, 11	bitr4d 256	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) = B <-> ( B <_ A /\ A < ( B + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   E!wreu 2809   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   < clt 9617   <_ cle 9618   ZZcz 10853   |_cfl 11884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fl 11886

This theorem is referenced by:  flbi2  11909  fladdz  11914  btwnzge0  11917  bitsfzolem  13932  bitsfzo  13933  bitsmod  13934  bitscmp  13936  pcfaclem  14265  mbfi1fseqlem4  21853  dvfsumlem1  22155  fsumharmonic  23062  ppiub  23200  chpub  23216  bposlem1  23280  bposlem2  23281  ex-fl  24831  subfacval3  28259  itg2addnclem2  29631  oddfl  30991  halffl  31025  fourierdlem65  31427