MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fladdz Structured version   Unicode version

Theorem fladdz 11909
Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
fladdz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )

Proof of Theorem fladdz
StepHypRef Expression
1 reflcl 11883 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
21adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
3 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
4 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54zred 10928 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
6 flle 11886 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
76adantr 463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
82, 3, 5, 7leadd1dd 10126 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <_  ( A  +  N ) )
9 1red 9561 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
102, 9readdcld 9573 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
11 flltp1 11887 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
1211adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
133, 10, 5, 12ltadd1dd 10123 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  N ) )
142recnd 9572 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
15 1cnd 9562 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
165recnd 9572 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
1714, 15, 16add32d 9758 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
1813, 17breqtrd 4418 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
193, 5readdcld 9573 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  e.  RR )
203flcld 11885 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2120, 4zaddcld 10932 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )
22 flbi 11902 . . 3  |-  ( ( ( A  +  N
)  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( A  +  N ) )  =  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <->  ( ( ( |_ `  A )  +  N )  <_ 
( A  +  N
)  /\  ( A  +  N )  <  (
( ( |_ `  A )  +  N
)  +  1 ) ) ) )
2319, 21, 22syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( A  +  N
) )  =  ( ( |_ `  A
)  +  N )  <-> 
( ( ( |_
`  A )  +  N )  <_  ( A  +  N )  /\  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) ) ) )
248, 18, 23mpbir2and 923 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   RRcr 9441   1c1 9443    + caddc 9445    < clt 9578    <_ cle 9579   ZZcz 10825   |_cfl 11877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fl 11879
This theorem is referenced by:  flzadd  11910  modcyc  11983  bitsmod  14187  fldivp1  14517  ppip1le  23708  dya2ub  28598  fourierdlem4  37243  fourierdlem47  37286  flsubz  38620  blennnt2  38700
  Copyright terms: Public domain W3C validator