MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fladdz Structured version   Unicode version

Theorem fladdz 11666
Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
fladdz  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )

Proof of Theorem fladdz
StepHypRef Expression
1 reflcl 11642 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
21adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
3 simpl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
4 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
54zred 10743 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
6 flle 11645 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
76adantr 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
82, 3, 5, 7leadd1dd 9949 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <_  ( A  +  N ) )
9 1red 9397 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
102, 9readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
11 flltp1 11646 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
1211adantr 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
133, 10, 5, 12ltadd1dd 9946 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  N ) )
142recnd 9408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
15 ax-1cn 9336 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
175recnd 9408 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
1814, 16, 17add32d 9588 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
1913, 18breqtrd 4313 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
203, 5readdcld 9409 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  e.  RR )
213flcld 11644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2221, 4zaddcld 10747 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )
23 flbi 11660 . . 3  |-  ( ( ( A  +  N
)  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( A  +  N ) )  =  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <->  ( ( ( |_ `  A )  +  N )  <_ 
( A  +  N
)  /\  ( A  +  N )  <  (
( ( |_ `  A )  +  N
)  +  1 ) ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 656 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( A  +  N
) )  =  ( ( |_ `  A
)  +  N )  <-> 
( ( ( |_
`  A )  +  N )  <_  ( A  +  N )  /\  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) ) ) )
258, 19, 24mpbir2and 908 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415   ZZcz 10642   |_cfl 11636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fl 11638
This theorem is referenced by:  flzadd  11667  modcyc  11739  bitsmod  13628  fldivp1  13955  ppip1le  22458  dya2ub  26621
  Copyright terms: Public domain W3C validator