Theorem fixufil 20930

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem fixufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uffix 20929	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )
2	1	simprd 465	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
3	1	simpld 461	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
4		fgcl 20886	. . . 4 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
6	2, 5	eqeltrd 2528	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) )
7		undif2 3842	. . . . . . . . . 10 |- ( y u. ( X \ y ) ) = ( y u. X )
8		elpwi 3959	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9		ssequn1 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ X <-> ( y u. X ) = X )
10	8, 9	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> ( y u. X ) = X )
11	7, 10	syl5req 2497	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> X = ( y u. ( X \ y ) ) )
12	11	eleq2d 2513	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> ( A e. X <-> A e. ( y u. ( X \ y ) ) ) )
13	12	biimpac 489	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> A e. ( y u. ( X \ y ) ) )
14		elun 3573	. . . . . . 7 |- ( A e. ( y u. ( X \ y ) ) <-> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
15	13, 14	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
16	15	adantll 719	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
17		ibar 507	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P X -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
18	17	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
19		difss 3559	. . . . . . . . 9 |- ( X \ y ) C_ X
20		elpw2g 4565	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
21	19, 20	mpbiri 237	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
22	21	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( X \ y ) e. ~P X )
23	22	biantrurd 511	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. ( X \ y ) <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
24	18, 23	orbi12d 715	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
26	25	ralrimiva 2801	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
27		eleq2 2517	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
28	27	elrab 3195	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
29		eleq2 2517	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ y ) -> ( A e. x <-> A e. ( X \ y ) ) )
30	29	elrab 3195	. . . . 5 |- ( ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) )
31	28, 30	orbi12i 524	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
32	31	ralbii 2818	. . 3 |- ( A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
33	26, 32	sylibr 216	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) )
34		isufil 20911	. 2 |- ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) <-> ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) /\ A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) ) )
35	6, 33, 34	sylanbrc 669	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   \ cdif 3400   u. cun 3401   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   Filcfil 20853   UFilcufil 20907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-fil 20854  df-ufil 20909

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