Theorem fixufil 20715

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem fixufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uffix 20714	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )
2	1	simprd 461	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
3	1	simpld 457	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
4		fgcl 20671	. . . 4 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
6	2, 5	eqeltrd 2490	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) )
7		undif2 3848	. . . . . . . . . 10 |- ( y u. ( X \ y ) ) = ( y u. X )
8		elpwi 3964	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9		ssequn1 3613	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ X <-> ( y u. X ) = X )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> ( y u. X ) = X )
11	7, 10	syl5req 2456	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> X = ( y u. ( X \ y ) ) )
12	11	eleq2d 2472	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> ( A e. X <-> A e. ( y u. ( X \ y ) ) ) )
13	12	biimpac 484	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> A e. ( y u. ( X \ y ) ) )
14		elun 3584	. . . . . . 7 |- ( A e. ( y u. ( X \ y ) ) <-> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
15	13, 14	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
16	15	adantll 712	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
17		ibar 502	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P X -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
18	17	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
19		difss 3570	. . . . . . . . 9 |- ( X \ y ) C_ X
20		elpw2g 4557	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
21	19, 20	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
22	21	ad2antrr 724	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( X \ y ) e. ~P X )
23	22	biantrurd 506	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. ( X \ y ) <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
24	18, 23	orbi12d 708	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
26	25	ralrimiva 2818	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
27		eleq2 2475	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
28	27	elrab 3207	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
29		eleq2 2475	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ y ) -> ( A e. x <-> A e. ( X \ y ) ) )
30	29	elrab 3207	. . . . 5 |- ( ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) )
31	28, 30	orbi12i 519	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
32	31	ralbii 2835	. . 3 |- ( A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
33	26, 32	sylibr 212	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) )
34		isufil 20696	. 2 |- ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) <-> ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) /\ A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) ) )
35	6, 33, 34	sylanbrc 662	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758   \ cdif 3411   u. cun 3412   C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   {csn 3972   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   fBascfbas 18726   filGencfg 18727   Filcfil 20638   UFilcufil 20692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-fil 20639  df-ufil 20694

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