Theorem fixufil 20155

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem fixufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uffix 20154	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )
2	1	simprd 463	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
3	1	simpld 459	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
4		fgcl 20111	. . . 4 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
5	3, 4	syl 16	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
6	2, 5	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) )
7		undif2 3903	. . . . . . . . . 10 |- ( y u. ( X \ y ) ) = ( y u. X )
8		elpwi 4019	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9		ssequn1 3674	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ X <-> ( y u. X ) = X )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> ( y u. X ) = X )
11	7, 10	syl5req 2521	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> X = ( y u. ( X \ y ) ) )
12	11	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> ( A e. X <-> A e. ( y u. ( X \ y ) ) ) )
13	12	biimpac 486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> A e. ( y u. ( X \ y ) ) )
14		elun 3645	. . . . . . 7 |- ( A e. ( y u. ( X \ y ) ) <-> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
15	13, 14	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
16	15	adantll 713	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
17		ibar 504	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P X -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
18	17	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
19		difss 3631	. . . . . . . . 9 |- ( X \ y ) C_ X
20		elpw2g 4610	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
21	19, 20	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( X \ y ) e. ~P X )
23	22	biantrurd 508	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. ( X \ y ) <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
24	18, 23	orbi12d 709	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
26	25	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
27		eleq2 2540	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
28	27	elrab 3261	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
29		eleq2 2540	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ y ) -> ( A e. x <-> A e. ( X \ y ) ) )
30	29	elrab 3261	. . . . 5 |- ( ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) )
31	28, 30	orbi12i 521	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
32	31	ralbii 2895	. . 3 |- ( A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
33	26, 32	sylibr 212	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) )
34		isufil 20136	. 2 |- ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) <-> ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) /\ A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) ) )
35	6, 33, 34	sylanbrc 664	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   fBascfbas 18174   filGencfg 18175   Filcfil 20078   UFilcufil 20132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-fil 20079  df-ufil 20134

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