Theorem fixufil 15576

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter.

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ((X e. B /\ A e. X) -> {x e. ~PX | A e. x} e. UFil)

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,X

Proof of Theorem fixufil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 346	. . . . 5 |- ((X e. B /\ A e. X) -> X e. B)
2		snssi 3129	. . . . . 6 |- (A e. X -> {A} C_ X)
3	2	adantl 424	. . . . 5 |- ((X e. B /\ A e. X) -> {A} C_ X)
4		snnzg 3118	. . . . . 6 |- (A e. X -> {A} =/= (/))
5	4	adantl 424	. . . . 5 |- ((X e. B /\ A e. X) -> {A} =/= (/))
6		supfil 15560	. . . . 5 |- ((X e. B /\ {A} C_ X /\ {A} =/= (/)) -> ({x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} e. Fil /\ X = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)}))
7	1, 3, 5, 6	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((X e. B /\ A e. X) -> ({x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} e. Fil /\ X = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)}))
8		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
9	8	elpw 3037	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~PX <-> x C_ X)
10	9	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ A e. X) -> (x e. ~PX <-> x C_ X))
11		snssg 3124	. . . . . . . . 9 |- (A e. X -> (A e. x <-> {A} C_ x))
12	11	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ A e. X) -> (A e. x <-> {A} C_ x))
13	10, 12	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- ((X e. B /\ A e. X) -> ((x e. ~PX /\ A e. x) <-> (x C_ X /\ {A} C_ x)))
14	13	abbidv 2008	. . . . . 6 |- ((X e. B /\ A e. X) -> {x | (x e. ~PX /\ A e. x)} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)})
15		df-rab 2112	. . . . . 6 |- {x e. ~PX | A e. x} = {x | (x e. ~PX /\ A e. x)}
16	14, 15	syl5eq 1940	. . . . 5 |- ((X e. B /\ A e. X) -> {x e. ~PX | A e. x} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)})
17		eleq1 1957	. . . . . 6 |- ({x e. ~PX | A e. x} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} -> ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil <-> {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} e. Fil))
18		unieq 3185	. . . . . . 7 |- ({x e. ~PX | A e. x} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} -> U.{x e. ~PX | A e. x} = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)})
19	18	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- ({x e. ~PX | A e. x} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} -> (X = U.{x e. ~PX | A e. x} <-> X = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)}))
20	17, 19	anbi12d 690	. . . . 5 |- ({x e. ~PX | A e. x} = {x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} -> (({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x}) <-> ({x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} e. Fil /\ X = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)})))
21	16, 20	syl 12	. . . 4 |- ((X e. B /\ A e. X) -> (({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x}) <-> ({x | (x C_ X /\ {A} C_ x)} e. Fil /\ X = U.{x | (x C_ X /\ {A} C_ x)})))
22	7, 21	mpbird 213	. . 3 |- ((X e. B /\ A e. X) -> ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x}))
23		simprl 450	. . . 4 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> {x e. ~PX | A e. x} e. Fil)
24		pm2.27 76	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y C_ X -> ((y C_ X -> -. A e. y) -> -. A e. y))
25	24	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ y C_ X) -> ((y C_ X -> -. A e. y) -> -. A e. y))
26		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (X \ y) -> (A e. x <-> A e. (X \ y)))
27	26	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x} <-> ((X \ y) e. ~PX /\ A e. (X \ y)))
28		difss 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (X \ y) C_ X
29		elpw2g 3463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (X e. B -> ((X \ y) e. ~PX <-> (X \ y) C_ X))
30	28, 29	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (X e. B -> (X \ y) e. ~PX)
31	30	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ (y C_ X /\ -. A e. y)) -> (X \ y) e. ~PX)
32		eldif 2609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. (X \ y) <-> (A e. X /\ -. A e. y))
33	32	biimpri 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. X /\ -. A e. y) -> A e. (X \ y))
34	33	ad2ant2l 444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ (y C_ X /\ -. A e. y)) -> A e. (X \ y))
35	27, 31, 34	sylanbrc 527	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ (y C_ X /\ -. A e. y)) -> (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})
36	35	expr 418	. . . . . . . . . . . 12 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ y C_ X) -> (-. A e. y -> (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
37	25, 36	syld 30	. . . . . . . . . . 11 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ y C_ X) -> ((y C_ X -> -. A e. y) -> (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
38		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = y -> (A e. x <-> A e. y))
39	38	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. {x e. ~PX | A e. x} <-> (y e. ~PX /\ A e. y))
40		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
41	40	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. ~PX <-> y C_ X)
42	41	anbi1i 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~PX /\ A e. y) <-> (y C_ X /\ A e. y))
43	39, 42	bitri 190	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. {x e. ~PX | A e. x} <-> (y C_ X /\ A e. y))
44	43	notbii 204	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. y e. {x e. ~PX | A e. x} <-> -. (y C_ X /\ A e. y))
45		imnan 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y C_ X -> -. A e. y) <-> -. (y C_ X /\ A e. y))
46	44, 45	bitr4i 193	. . . . . . . . . . 11 |- (-. y e. {x e. ~PX | A e. x} <-> (y C_ X -> -. A e. y))
47	37, 46	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ y C_ X) -> (-. y e. {x e. ~PX | A e. x} -> (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
48	47	orrd 250	. . . . . . . . 9 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ y C_ X) -> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
49	48	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ A e. X) -> (y C_ X -> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
50	49	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> (y C_ X -> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
51		sseq2 2639	. . . . . . . 8 |- (X = U.{x e. ~PX | A e. x} -> (y C_ X <-> y C_ U.{x e. ~PX | A e. x}))
52	51	ad2antll 443	. . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> (y C_ X <-> y C_ U.{x e. ~PX | A e. x}))
53		difeq1 2717	. . . . . . . . . 10 |- (X = U.{x e. ~PX | A e. x} -> (X \ y) = (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y))
54	53	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (X = U.{x e. ~PX | A e. x} -> ((X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x} <-> (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
55	54	orbi2d 676	. . . . . . . 8 |- (X = U.{x e. ~PX | A e. x} -> ((y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}) <-> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
56	55	ad2antll 443	. . . . . . 7 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> ((y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (X \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}) <-> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
57	50, 52, 56	3imtr3d 601	. . . . . 6 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> (y C_ U.{x e. ~PX | A e. x} -> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
58	40	elpw 3037	. . . . . 6 |- (y e. ~PU.{x e. ~PX | A e. x} <-> y C_ U.{x e. ~PX | A e. x})
59	57, 58	syl5ib 223	. . . . 5 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> (y e. ~PU.{x e. ~PX | A e. x} -> (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
60	59	r19.21aiv 2175	. . . 4 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> A.y e. ~P U.{x e. ~PX | A e. x} (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x}))
61	23, 60	jca 310	. . 3 |- (((X e. B /\ A e. X) /\ ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ X = U.{x e. ~PX | A e. x})) -> ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ A.y e. ~P U.{x e. ~PX | A e. x} (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
62	22, 61	mpdan 768	. 2 |- ((X e. B /\ A e. X) -> ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ A.y e. ~P U.{x e. ~PX | A e. x} (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
63		eqid 1884	. . 3 |- U.{x e. ~PX | A e. x} = U.{x e. ~PX | A e. x}
64	63	isufil 15564	. 2 |- ({x e. ~PX | A e. x} e. UFil <-> ({x e. ~PX | A e. x} e. Fil /\ A.y e. ~P U.{x e. ~PX | A e. x} (y e. {x e. ~PX | A e. x} \/ (U.{x e. ~PX | A e. x} \ y) e. {x e. ~PX | A e. x})))
65	62, 64	sylibr 217	1 |- ((X e. B /\ A e. X) -> {x e. ~PX | A e. x} e. UFil)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   =/= wne 2017  A.wral 2105  {crab 2108   \ cdif 2590   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  {csn 3044  U.cuni 3177  Filcfil 10264  UFilcufil 15562

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-uni 3178  df-fil 10265  df-ufil 15563

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