Theorem fixufil 19630

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem fixufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uffix 19629	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )
2	1	simprd 463	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
3	1	simpld 459	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
4		fgcl 19586	. . . 4 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
5	3, 4	syl 16	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
6	2, 5	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) )
7		undif2 3866	. . . . . . . . . 10 |- ( y u. ( X \ y ) ) = ( y u. X )
8		elpwi 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9		ssequn1 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ X <-> ( y u. X ) = X )
10	8, 9	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> ( y u. X ) = X )
11	7, 10	syl5req 2508	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> X = ( y u. ( X \ y ) ) )
12	11	eleq2d 2524	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> ( A e. X <-> A e. ( y u. ( X \ y ) ) ) )
13	12	biimpac 486	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> A e. ( y u. ( X \ y ) ) )
14		elun 3608	. . . . . . 7 |- ( A e. ( y u. ( X \ y ) ) <-> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
15	13, 14	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
16	15	adantll 713	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
17		ibar 504	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P X -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
18	17	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
19		difss 3594	. . . . . . . . 9 |- ( X \ y ) C_ X
20		elpw2g 4566	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
21	19, 20	mpbiri 233	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( X \ y ) e. ~P X )
23	22	biantrurd 508	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. ( X \ y ) <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
24	18, 23	orbi12d 709	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 210	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
26	25	ralrimiva 2830	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
27		eleq2 2527	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
28	27	elrab 3224	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
29		eleq2 2527	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ y ) -> ( A e. x <-> A e. ( X \ y ) ) )
30	29	elrab 3224	. . . . 5 |- ( ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) )
31	28, 30	orbi12i 521	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
32	31	ralbii 2839	. . 3 |- ( A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
33	26, 32	sylibr 212	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) )
34		isufil 19611	. 2 |- ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) <-> ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) /\ A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) ) )
35	6, 33, 34	sylanbrc 664	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   \ cdif 3436   u. cun 3437   C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   fBascfbas 17932   filGencfg 17933   Filcfil 19553   UFilcufil 19607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-fil 19554  df-ufil 19609

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