Theorem fixp 10180

Description: The Cartesian product of two finite sets is finite. (Contributed by Jeff Madsen 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fixp	|- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A X. B) e. Fin)

Proof of Theorem fixp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x X. B) = ((/) X. B))
2	1	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x X. B) e. Fin <-> ((/) X. B) e. Fin))
3	2	imbi2d 674	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. Fin -> (x X. B) e. Fin) <-> (B e. Fin -> ((/) X. B) e. Fin)))
4		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (x = (y \ {z}) -> (x X. B) = ((y \ {z}) X. B))
5	4	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = (y \ {z}) -> ((x X. B) e. Fin <-> ((y \ {z}) X. B) e. Fin))
6	5	imbi2d 674	. . 3 |- (x = (y \ {z}) -> ((B e. Fin -> (x X. B) e. Fin) <-> (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin)))
7		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (x = y -> (x X. B) = (y X. B))
8	7	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = y -> ((x X. B) e. Fin <-> (y X. B) e. Fin))
9	8	imbi2d 674	. . 3 |- (x = y -> ((B e. Fin -> (x X. B) e. Fin) <-> (B e. Fin -> (y X. B) e. Fin)))
10		xpeq1 4016	. . . . 5 |- (x = A -> (x X. B) = (A X. B))
11	10	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = A -> ((x X. B) e. Fin <-> (A X. B) e. Fin))
12	11	imbi2d 674	. . 3 |- (x = A -> ((B e. Fin -> (x X. B) e. Fin) <-> (B e. Fin -> (A X. B) e. Fin)))
13		xp0r 4065	. . . . 5 |- ((/) X. B) = (/)
14		emfin 10165	. . . . 5 |- (/) e. Fin
15	13, 14	eqeltri 1967	. . . 4 |- ((/) X. B) e. Fin
16	15	a1i 8	. . 3 |- (B e. Fin -> ((/) X. B) e. Fin)
17		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = w -> {z} = {w})
18	17	difeq2d 2726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = w -> (y \ {z}) = (y \ {w}))
19		xpeq1 4016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y \ {z}) = (y \ {w}) -> ((y \ {z}) X. B) = ((y \ {w}) X. B))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = w -> ((y \ {z}) X. B) = ((y \ {w}) X. B))
21	20	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = w -> (((y \ {z}) X. B) e. Fin <-> ((y \ {w}) X. B) e. Fin))
22	21	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = w -> ((B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) <-> (B e. Fin -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin)))
23	22	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. y -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (B e. Fin -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin)))
24	23	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (B e. Fin -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin)))
25		pm2.27 76	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. Fin -> ((B e. Fin -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin) -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin))
26	25	ad2antlr 441	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> ((B e. Fin -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin) -> ((y \ {w}) X. B) e. Fin))
27		f1oeng 5454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((({w} X. B) e. _V /\ (2nd |` ({w} X. B)):({w} X. B)-1-1-onto->B) -> ({w} X. B) ~~ B)
28		snex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- {w} e. _V
29		xpexg 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (({w} e. _V /\ B e. Fin) -> ({w} X. B) e. _V)
30	28, 29	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. Fin -> ({w} X. B) e. _V)
31		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
32		2ndconst 5071	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. _V -> (2nd |` ({w} X. B)):({w} X. B)-1-1-onto->B)
33	31, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2nd |` ({w} X. B)):({w} X. B)-1-1-onto->B
34	27, 30, 33	sylancl 525	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. Fin -> ({w} X. B) ~~ B)
35		enfi 5627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. Fin /\ ({w} X. B) ~~ B) -> (({w} X. B) e. Fin <-> B e. Fin))
36	34, 35	mpdan 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. Fin -> (({w} X. B) e. Fin <-> B e. Fin))
37	36	ibir 653	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. Fin -> ({w} X. B) e. Fin)
38	37	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> ({w} X. B) e. Fin)
39		difsnid 3131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. y -> ((y \ {w}) u. {w}) = y)
40		xpeq1 4016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((y \ {w}) u. {w}) = y -> (((y \ {w}) u. {w}) X. B) = (y X. B))
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. y -> (((y \ {w}) u. {w}) X. B) = (y X. B))
42		xpundir 4051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y \ {w}) u. {w}) X. B) = (((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B))
43	41, 42	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w e. y -> (((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B)) = (y X. B))
44	43	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w e. y -> ((((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B)) e. Fin <-> (y X. B) e. Fin))
45	44	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. y -> ((((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B)) e. Fin -> (y X. B) e. Fin))
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> ((((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B)) e. Fin -> (y X. B) e. Fin))
47		unfi 5644	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y \ {w}) X. B) e. Fin /\ ({w} X. B) e. Fin) -> (((y \ {w}) X. B) u. ({w} X. B)) e. Fin)
48	46, 47	syl5 20	. . . . . . . . . . 11 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> ((((y \ {w}) X. B) e. Fin /\ ({w} X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin))
49	38, 48	mpan2d 766	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> (((y \ {w}) X. B) e. Fin -> (y X. B) e. Fin))
50	24, 26, 49	3syld 31	. . . . . . . . 9 |- (((y e. Fin /\ B e. Fin) /\ w e. y) -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin))
51	50	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((y e. Fin /\ B e. Fin) -> (w e. y -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin)))
52	51	19.23adv 1584	. . . . . . 7 |- ((y e. Fin /\ B e. Fin) -> (E.w w e. y -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin)))
53		neq0 2885	. . . . . . 7 |- (-. y = (/) <-> E.w w e. y)
54	52, 53	syl5ib 223	. . . . . 6 |- ((y e. Fin /\ B e. Fin) -> (-. y = (/) -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin)))
55		xpeq1 4016	. . . . . . . 8 |- (y = (/) -> (y X. B) = ((/) X. B))
56	55, 15	syl6eqel 1979	. . . . . . 7 |- (y = (/) -> (y X. B) e. Fin)
57	56	a1d 15	. . . . . 6 |- (y = (/) -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin))
58	54, 57	pm2.61d2 143	. . . . 5 |- ((y e. Fin /\ B e. Fin) -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin))
59	58	ex 402	. . . 4 |- (y e. Fin -> (B e. Fin -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (y X. B) e. Fin)))
60	59	com23 36	. . 3 |- (y e. Fin -> (A.z e. y (B e. Fin -> ((y \ {z}) X. B) e. Fin) -> (B e. Fin -> (y X. B) e. Fin)))
61	3, 6, 9, 12, 16, 60	findcard 10178	. 2 |- (A e. Fin -> (B e. Fin -> (A X. B) e. Fin))
62	61	imp 377	1 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A X. B) e. Fin)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   u. cun 2591  (/)c0 2875  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   |` cres 3988  -1-1-onto->wf1o 3997  2ndc2nd 5019   ~~ cen 5423  Fincfn 5426

This theorem is referenced by:  fixpb 14417  fixpc 14418  cptwff 14436  mapfi 15727  rrntotbnd 16022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain