Theorem fiv 10212

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 2-Sep-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiv	|- (A e. B -> ( fi ` A) = {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})

Distinct variable group:   u,A,z

Proof of Theorem fiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 2299	. 2 |- (A e. B -> A e. _V)
2		uniexg 3795	. . . . . 6 |- (A e. B -> U.A e. _V)
3		pwexg 3489	. . . . . 6 |- (U.A e. _V -> ~PU.A e. _V)
4	2, 3	syl 12	. . . . 5 |- (A e. B -> ~PU.A e. _V)
5		rabexg 3460	. . . . 5 |- (~PU.A e. _V -> {u e. ~PU.A | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} e. _V)
6	4, 5	syl 12	. . . 4 |- (A e. B -> {u e. ~PU.A | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} e. _V)
7		df-rab 2112	. . . 4 |- {u e. ~PU.A | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} = {u | (u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z))}
8	6, 7	syl5eqelr 1976	. . 3 |- (A e. B -> {u | (u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z))} e. _V)
9		simpr 350	. . . . 5 |- ((u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)) -> E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z))
10		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
11		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = |^|z -> (u e. _V <-> |^|z e. _V))
12		intex 3465	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z =/= (/) <-> |^|z e. _V)
13		intssuni2 3243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z C_ A /\ z =/= (/)) -> |^|z C_ U.A)
14	13	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z C_ A -> (z =/= (/) -> |^|z C_ U.A))
15		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u = |^|z -> (u C_ U.A <-> |^|z C_ U.A))
16	15	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = |^|z -> (|^|z C_ U.A -> u C_ U.A))
17	10	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (u e. ~PU.A <-> u C_ U.A)
18	17	biimpri 169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u C_ U.A -> u e. ~PU.A)
19	18	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u C_ U.A -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A))
20	16, 19	syl6com 64	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (|^|z C_ U.A -> (u = |^|z -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A)))
21	14, 20	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z C_ A -> (z =/= (/) -> (u = |^|z -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A))))
22	21	com3l 38	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z =/= (/) -> (u = |^|z -> (z C_ A -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A))))
23	12, 22	sylbir 218	. . . . . . . . . . . 12 |- (|^|z e. _V -> (u = |^|z -> (z C_ A -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A))))
24	11, 23	syl6bi 231	. . . . . . . . . . 11 |- (u = |^|z -> (u e. _V -> (u = |^|z -> (z C_ A -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A)))))
25	24	pm2.43a 80	. . . . . . . . . 10 |- (u = |^|z -> (u e. _V -> (z C_ A -> (z e. Fin -> u e. ~PU.A))))
26	25	com4l 43	. . . . . . . . 9 |- (u e. _V -> (z C_ A -> (z e. Fin -> (u = |^|z -> u e. ~PU.A))))
27	10, 26	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (z C_ A -> (z e. Fin -> (u = |^|z -> u e. ~PU.A)))
28	27	3imp 1061	. . . . . . 7 |- ((z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z) -> u e. ~PU.A)
29	28	19.23aiv 1674	. . . . . 6 |- (E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z) -> u e. ~PU.A)
30	29	ancri 321	. . . . 5 |- (E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z) -> (u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)))
31	9, 30	impbii 174	. . . 4 |- ((u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)) <-> E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z))
32	31	abbii 2006	. . 3 |- {u | (u e. ~PU.A /\ E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z))} = {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}
33	8, 32	syl5eqelr 1976	. 2 |- (A e. B -> {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} e. _V)
34		sseq2 2639	. . . . . 6 |- (x = A -> (z C_ x <-> z C_ A))
35	34	3anbi1d 1172	. . . . 5 |- (x = A -> ((z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z) <-> (z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)))
36	35	exbidv 1657	. . . 4 |- (x = A -> (E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z) <-> E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)))
37	36	abbidv 2008	. . 3 |- (x = A -> {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} = {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})
38		df-fi 10211	. . . 4 |- fi = {<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}}
39		relopab 4104	. . . . 5 |- Rel {<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}}
40		resid 4258	. . . . 5 |- (Rel {<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}} -> ({<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}} |` _V) = {<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}})
41	39, 40	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}} |` _V) = {<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}}
42		resopab 4252	. . . 4 |- ({<.x, y>. | y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)}} |` _V) = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})}
43	38, 41, 42	3eqtr2i 1915	. . 3 |- fi = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = {u | E.z(z C_ x /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})}
44	37, 43	fvopab4g 4742	. 2 |- ((A e. _V /\ {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)} e. _V) -> ( fi ` A) = {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})
45	1, 33, 44	syl11anc 524	1 |- (A e. B -> ( fi ` A) = {u | E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ u = |^|z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  |^|cint 3214  {copab 3395   |` cres 3988  Rel wrel 3991  ` cfv 3998  Fincfn 5426   fi cfi 10210

This theorem is referenced by:  fine2 10214  abfi2 10216  sppfi 10218  fibas 10221  fsubbas 10281  fbunfip 10282  fiss 15368  fictb 15371  inficlALT 15372  fibasOLD 15400  compfipin0 15436  fbasfip 15556

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fi 10211

Copyright terms: Public domain