Theorem fiuni 10219

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- (A e. B -> U.A = U.( fi ` A))

Proof of Theorem fiuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abfi2 10216	. . 3 |- (A e. B -> A C_ ( fi ` A))
2		uniss 3199	. . 3 |- (A C_ ( fi ` A) -> U.A C_ U.( fi ` A))
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A e. B -> U.A C_ U.( fi ` A))
4		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
5		sppfi 10218	. . . . . 6 |- ((x e. _V /\ A e. B) -> (x e. ( fi ` A) <-> E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)))
6	4, 5	mpan 759	. . . . 5 |- (A e. B -> (x e. ( fi ` A) <-> E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)))
7		vprc 3449	. . . . . . . . . . . 12 |- -. _V e. _V
8		int0 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- |^|(/) = _V
9	8	eleq1i 1960	. . . . . . . . . . . . 13 |- (|^|(/) e. _V <-> _V e. _V)
10		isset 2296	. . . . . . . . . . . . 13 |- (|^|(/) e. _V <-> E.x x = |^|(/))
11	9, 10	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . 12 |- (_V e. _V <-> E.x x = |^|(/))
12	7, 11	mtbi 208	. . . . . . . . . . 11 |- -. E.x x = |^|(/)
13	12	nexr 1455	. . . . . . . . . 10 |- -. x = |^|(/)
14		inteq 3217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (/) -> |^|z = |^|(/))
15	14	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (/) -> (x = |^|z <-> x = |^|(/)))
16	15	biimpcd 172	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = |^|z -> (z = (/) -> x = |^|(/)))
17	16	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- ((z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) -> (z = (/) -> x = |^|(/)))
18	17	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> (z = (/) -> x = |^|(/)))
19	13, 18	mtoi 122	. . . . . . . . 9 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> -. z = (/))
20		df-ne 2019	. . . . . . . . 9 |- (z =/= (/) <-> -. z = (/))
21	19, 20	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> z =/= (/))
22		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z C_ A /\ w e. z) -> w e. A)
23	22	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) /\ w e. z) -> w e. A)
24		intss1 3231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. z -> |^|z C_ w)
25	24	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^|z /\ w e. z) -> |^|z C_ w)
26		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = |^|z -> (x C_ w <-> |^|z C_ w))
27	26	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^|z /\ w e. z) -> (x C_ w <-> |^|z C_ w))
28	25, 27	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x = |^|z /\ w e. z) -> x C_ w)
29	28	3ad2antl3 1040	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) /\ w e. z) -> x C_ w)
30		sseq2 2639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = w -> (x C_ y <-> x C_ w))
31	30	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. A /\ x C_ w) -> E.y e. A x C_ y)
32	23, 29, 31	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) /\ w e. z) -> E.y e. A x C_ y)
33	32	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) /\ w e. z) -> E.y e. A x C_ y)
34	33	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> (w e. z -> E.y e. A x C_ y))
35	34	19.23adv 1584	. . . . . . . . 9 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> (E.w w e. z -> E.y e. A x C_ y))
36		n0 2884	. . . . . . . . 9 |- (z =/= (/) <-> E.w w e. z)
37	35, 36	syl5ib 223	. . . . . . . 8 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> (z =/= (/) -> E.y e. A x C_ y))
38	21, 37	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((A e. B /\ (z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z)) -> E.y e. A x C_ y)
39	38	ex 402	. . . . . 6 |- (A e. B -> ((z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) -> E.y e. A x C_ y))
40	39	19.23adv 1584	. . . . 5 |- (A e. B -> (E.z(z C_ A /\ z e. Fin /\ x = |^|z) -> E.y e. A x C_ y))
41	6, 40	sylbid 220	. . . 4 |- (A e. B -> (x e. ( fi ` A) -> E.y e. A x C_ y))
42	41	r19.21aiv 2175	. . 3 |- (A e. B -> A.x e. ( fi ` A)E.y e. A x C_ y)
43		uniss2 3209	. . 3 |- (A.x e. ( fi ` A)E.y e. A x C_ y -> U.( fi ` A) C_ U.A)
44	42, 43	syl 12	. 2 |- (A e. B -> U.( fi ` A) C_ U.A)
45	3, 44	eqssd 2633	1 |- (A e. B -> U.A = U.( fi ` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  |^|cint 3214  ` cfv 3998  Fincfn 5426   fi cfi 10210

This theorem is referenced by:  hausfillim 10303  alexsublem3 15439  alexsublem4 15440  topjoin 15527  isufil2 15565  ufileu 15573  filufint 15574  flimcls 15588  fmfnfm 15598  fclsfnflim 15614  flimfnfcls 15615  fcluscomp 15621

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211

Copyright terms: Public domain