MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiuni Structured version   Unicode version

Theorem fiuni 7678
Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiuni  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )

Proof of Theorem fiuni
StepHypRef Expression
1 ssfii 7669 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
21unissd 4115 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  C_ 
U. ( fi `  A ) )
3 fipwuni 7676 . . . . 5  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
43unissi 4114 . . . 4  |-  U. ( fi `  A )  C_  U. ~P U. A
5 unipw 4542 . . . 4  |-  U. ~P U. A  =  U. A
64, 5sseqtri 3388 . . 3  |-  U. ( fi `  A )  C_  U. A
76a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. ( fi `  A )  C_  U. A )
82, 7eqssd 3373 1  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   ` cfv 5418   ficfi 7660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fi 7661
This theorem is referenced by:  fipwss  7679  ordttopon  18797  ptbasfi  19154  xkouni  19172  alexsublem  19616  alexsub  19617  alexsubb  19618  alexsubALTlem3  19621  alexsubALTlem4  19622  ptcmplem1  19624  topjoin  28586
  Copyright terms: Public domain W3C validator