MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiuni Structured version   Unicode version

Theorem fiuni 7898
Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiuni  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )

Proof of Theorem fiuni
StepHypRef Expression
1 ssfii 7889 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
21unissd 4274 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  C_ 
U. ( fi `  A ) )
3 fipwuni 7896 . . . . 5  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
43unissi 4273 . . . 4  |-  U. ( fi `  A )  C_  U. ~P U. A
5 unipw 4702 . . . 4  |-  U. ~P U. A  =  U. A
64, 5sseqtri 3541 . . 3  |-  U. ( fi `  A )  C_  U. A
76a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  U. ( fi `  A )  C_  U. A )
82, 7eqssd 3526 1  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  =  U. ( fi `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   U.cuni 4250   ` cfv 5593   ficfi 7880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-fin 7530  df-fi 7881
This theorem is referenced by:  fipwss  7899  ordttopon  19539  ptbasfi  19927  xkouni  19945  alexsublem  20389  alexsub  20390  alexsubb  20391  alexsubALTlem3  20394  alexsubALTlem4  20395  ptcmplem1  20397  topjoin  30078
  Copyright terms: Public domain W3C validator