Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fiunelcarsg Structured version   Unicode version

Theorem fiunelcarsg 28443
Description: The Caratheodory measurable sets are closed under finite union. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
carsgval.2  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
carsgsiga.2  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
fiunelcarsg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fiunelcarsg.2  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
Assertion
Ref Expression
fiunelcarsg  |-  ( ph  ->  U. A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, M, y    x, O, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)

Proof of Theorem fiunelcarsg
Dummy variables  a 
e  b  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4171 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  U. a  =  U. (/) )
2 eqidd 2383 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  (toCaraSiga `  M
)  =  (toCaraSiga `  M
) )
31, 2eleq12d 2464 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( U. a  e.  (toCaraSiga `  M
)  <->  U. (/)  e.  (toCaraSiga `  M ) ) )
4 unieq 4171 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
5 eqidd 2383 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (toCaraSiga `  M )  =  (toCaraSiga `  M ) )
64, 5eleq12d 2464 . 2  |-  ( a  =  b  ->  ( U. a  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) ) )
7 unieq 4171 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
x } ) )
8 eqidd 2383 . . 3  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  (toCaraSiga `  M )  =  (toCaraSiga `  M ) )
97, 8eleq12d 2464 . 2  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ x } )  ->  ( U. a  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  U. (
b  u.  { x } )  e.  (toCaraSiga `  M ) ) )
10 unieq 4171 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
11 eqidd 2383 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (toCaraSiga `  M )  =  (toCaraSiga `  M ) )
1210, 11eleq12d 2464 . 2  |-  ( a  =  A  ->  ( U. a  e.  (toCaraSiga `  M )  <->  U. A  e.  (toCaraSiga `  M ) ) )
13 uni0 4190 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
14 difid 3812 . . . 4  |-  ( O 
\  O )  =  (/)
1513, 14eqtr4i 2414 . . 3  |-  U. (/)  =  ( O  \  O )
16 carsgval.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  V )
17 carsgval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
18 carsgsiga.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M `  (/) )  =  0 )
1916, 17, 18baselcarsg 28433 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  e.  (toCaraSiga `  M
) )
2016, 17, 19difelcarsg 28437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( O  \  O
)  e.  (toCaraSiga `  M
) )
2115, 20syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  U. (/)  e.  (toCaraSiga `  M ) )
22 uniun 4182 . . . . 5  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  U. { x } )
23 vex 3037 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
2423unisn 4178 . . . . . 6  |-  U. {
x }  =  x
2524uneq2i 3569 . . . . 5  |-  ( U. b  u.  U. { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
2622, 25eqtri 2411 . . . 4  |-  U. (
b  u.  { x } )  =  ( U. b  u.  x
)
2716ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  O  e.  V
)
2817ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  M : ~P O
--> ( 0 [,] +oo ) )
29 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )
30 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  ph )
31 carsgsiga.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  ~<_  om  /\  x  C_  ~P O )  ->  ( M `  U. x )  <_ Σ* y  e.  x
( M `  y
) )
3216, 17, 18, 31carsgsigalem 28442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  -> 
( M `  (
e  u.  f ) )  <_  ( ( M `  e ) +e ( M `
 f ) ) )
3330, 32syl3an1 1259 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  /\  e  e.  ~P O  /\  f  e.  ~P O )  ->  ( M `  ( e  u.  f ) )  <_ 
( ( M `  e ) +e
( M `  f
) ) )
34 fiunelcarsg.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M
) )
3534ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  A  C_  (toCaraSiga `  M ) )
36 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  x  e.  ( A  \  b ) )
3736eldifad 3401 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  x  e.  A
)
3835, 37sseldd 3418 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  x  e.  (toCaraSiga `  M ) )
3927, 28, 29, 33, 38unelcarsg 28439 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  ( U. b  u.  x )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
4026, 39syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b ) ) )  /\  U. b  e.  (toCaraSiga `  M ) )  ->  U. ( b  u. 
{ x } )  e.  (toCaraSiga `  M ) )
4140ex 432 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  A  /\  x  e.  ( A  \  b
) ) )  -> 
( U. b  e.  (toCaraSiga `  M )  ->  U. ( b  u.  {
x } )  e.  (toCaraSiga `  M ) ) )
42 fiunelcarsg.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
433, 6, 9, 12, 21, 41, 42findcard2d 7677 1  |-  ( ph  ->  U. A  e.  (toCaraSiga `  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   U.cuni 4163   class class class wbr 4367   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599    ~<_ cdom 7433   Fincfn 7435   0cc0 9403   +oocpnf 9536    <_ cle 9540   +ecxad 11237   [,]cicc 11453  Σ*cesum 28175  toCaraSigaccarsg 28428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-ordt 14908  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-ps 15947  df-tsr 15948  df-plusf 15988  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-abv 17579  df-lmod 17627  df-scaf 17628  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-tmd 20656  df-tgp 20657  df-tsms 20710  df-trg 20747  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-nm 21188  df-ngp 21189  df-nrg 21191  df-nlm 21192  df-ii 21466  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-esum 28176  df-carsg 28429
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem1  28444  carsgclctunlem2  28446  carsgclctunlem3  28447
  Copyright terms: Public domain W3C validator