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Theorem fiuncmp 20468
Description: A finite union of compact sets is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fiuncmp.1 |- X = U. J
Assertion
Ref Expression
fiuncmp |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp )
Distinct variable groups:   x, A   x, J
Allowed substitution hints:   B( x)   X( x)
Proof of Theorem fiuncmp
Dummy variables t y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3463 . 2 |- A C_ A
2 simp2 1015 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> A e. Fin )
3 sseq1 3465 . . . . . 6 |- ( t = (/) -> ( t C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 iuneq1 4306 . . . . . . . . 9 |- ( t = (/) -> U_ x e. t B = U_ x e. (/) B )
5 0iun 4349 . . . . . . . . 9 |- U_ x e. (/) B = (/)
64, 5syl6eq 2512 . . . . . . . 8 |- ( t = (/) -> U_ x e. t B = (/) )
76oveq2d 6331 . . . . . . 7 |- ( t = (/) -> ( J ↾t U_ x e. t B ) = ( J ↾t (/) ) )
87eleq1d 2524 . . . . . 6 |- ( t = (/) -> ( ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J ↾t (/) ) e. Comp ) )
93, 8imbi12d 326 . . . . 5 |- ( t = (/) -> ( ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( (/) C_ A -> ( J ↾t (/) ) e. Comp ) ) )
109imbi2d 322 . . . 4 |- ( t = (/) -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( (/) C_ A -> ( J ↾t (/) ) e. Comp ) ) ) )
11 sseq1 3465 . . . . . 6 |- ( t = y -> ( t C_ A <-> y C_ A ) )
12 iuneq1 4306 . . . . . . . 8 |- ( t = y -> U_ x e. t B = U_ x e. y B )
1312oveq2d 6331 . . . . . . 7 |- ( t = y -> ( J ↾t U_ x e. t B ) = ( J ↾t U_ x e. y B ) )
1413eleq1d 2524 . . . . . 6 |- ( t = y -> ( ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) )
1511, 14imbi12d 326 . . . . 5 |- ( t = y -> ( ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) )
1615imbi2d 322 . . . 4 |- ( t = y -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) ) )
17 sseq1 3465 . . . . . 6 |- ( t = ( y u. { z } ) -> ( t C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
18 iuneq1 4306 . . . . . . . 8 |- ( t = ( y u. { z } ) -> U_ x e. t B = U_ x e. ( y u. { z } ) B )
1918oveq2d 6331 . . . . . . 7 |- ( t = ( y u. { z } ) -> ( J ↾t U_ x e. t B ) = ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) )
2019eleq1d 2524 . . . . . 6 |- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) )
2117, 20imbi12d 326 . . . . 5 |- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) )
2221imbi2d 322 . . . 4 |- ( t = ( y u. { z } ) -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) )
23 sseq1 3465 . . . . . 6 |- ( t = A -> ( t C_ A <-> A C_ A ) )
24 iuneq1 4306 . . . . . . . 8 |- ( t = A -> U_ x e. t B = U_ x e. A B )
2524oveq2d 6331 . . . . . . 7 |- ( t = A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) = ( J ↾t U_ x e. A B ) )
2625eleq1d 2524 . . . . . 6 |- ( t = A -> ( ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp <-> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp ) )
2723, 26imbi12d 326 . . . . 5 |- ( t = A -> ( ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) <-> ( A C_ A -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) )
2827imbi2d 322 . . . 4 |- ( t = A -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( t C_ A -> ( J ↾t U_ x e. t B ) e. Comp ) ) <-> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) ) )
29 rest0 20234 . . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) = { (/) } )
30 0cmp 20458 . . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
3129, 30syl6eqel 2548 . . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( J ↾t (/) ) e. Comp )
32313ad2ant1 1035 . . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( J ↾t (/) ) e. Comp )
3332a1d 26 . . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( (/) C_ A -> ( J ↾t (/) ) e. Comp ) )
34 ssun1 3609 . . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
35 id 22 . . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
3634, 35syl5ss 3455 . . . . . . . 8 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
3736imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) )
38 simpl1 1017 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> J e. Top )
39 iunxun 4377 . . . . . . . . . . . 12 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
40 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp )
41 cmptop 20459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Top )
42 restrcl 20222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Top -> ( J e. _V /\ U_ x e. y B e. _V ) )
4342simprd 469 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Top -> U_ x e. y B e. _V )
4440, 41, 433syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. y B e. _V )
45 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t B
46 nfcsb1v 3391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ t / x ]_ B
47 csbeq1a 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> B = [_ t / x ]_ B )
4845, 46, 47cbviun 4329 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. { z } B = U_ t e. { z } [_ t / x ]_ B
49 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
50 csbeq1 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = z -> [_ t / x ]_ B = [_ z / x ]_ B )
5149, 50iunxsn 4375 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ t e. { z } [_ t / x ]_ B = [_ z / x ]_ B
5248, 51eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ x e. { z } B = [_ z / x ]_ B
53 ssun2 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { z } C_ ( y u. { z } )
54 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
5553, 54syl5ss 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> { z } C_ A )
5649snss 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
5755, 56sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> z e. A )
58 simpl3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp )
59 nfv 1772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ t ( J ↾t B ) e. Comp
60 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x J
61 nfcv 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ↾t
6260, 61, 46nfov 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x ( J ↾t [_ t / x ]_ B )
6362nfel1 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp
6447oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = t -> ( J ↾t B ) = ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) )
6564eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( J ↾t B ) e. Comp <-> ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp ) )
6659, 63, 65cbvral 3027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp <-> A. t e. A ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp )
6758, 66sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> A. t e. A ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp )
6850oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = z -> ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) = ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) )
6968eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = z -> ( ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp <-> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Comp ) )
7069rspcv 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. A -> ( A. t e. A ( J ↾t [_ t / x ]_ B ) e. Comp -> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Comp ) )
7157, 67, 70sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Comp )
72 cmptop 20459 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Comp -> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Top )
73 restrcl 20222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Top -> ( J e. _V /\ [_ z / x ]_ B e. _V ) )
7473simprd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) e. Top -> [_ z / x ]_ B e. _V )
7571, 72, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> [_ z / x ]_ B e. _V )
7652, 75syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. { z } B e. _V )
77 unexg 6619 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ x e. y B e. _V /\ U_ x e. { z } B e. _V ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. _V )
7844, 76, 77syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) e. _V )
7939, 78syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V )
80 resttop 20225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top )
8138, 79, 80syl2anc 671 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top )
82 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. J = U. J
8382restin 20231 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( J ↾t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) )
8438, 79, 83syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( J ↾t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) )
8584unieqd 4222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = U. ( J ↾t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) )
86 inss2 3665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ U. J
87 fiuncmp.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = U. J
8886, 87sseqtr4i 3477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ X
8987restuni 20227 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) C_ X ) -> ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = U. ( J ↾t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) )
9038, 88, 89sylancl 673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = U. ( J ↾t ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) ) )
9185, 90eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) )
9252uneq2i 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B ) = ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B )
9339, 92eqtri 2484 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. ( y u. { z } ) B = ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B )
9493ineq1i 3642 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) i^i U. J )
95 indir 3703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U_ x e. y B u. [_ z / x ]_ B ) i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) )
9694, 95eqtri 2484 . . . . . . . . . . 11 |- ( U_ x e. ( y u. { z } ) B i^i U. J ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) )
9791, 96syl6eq 2512 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) )
98 inss1 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. y B
99 ssun1 3609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. y B C_ ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
10099, 39sseqtr4i 3477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ x e. y B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B
10198, 100sstri 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B )
103 restabs 20230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( U_ x e. y B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) )
10438, 102, 79, 103syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) )
10582restin 20231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ U_ x e. y B e. _V ) -> ( J ↾t U_ x e. y B ) = ( J ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) )
10638, 44, 105syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. y B ) = ( J ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) )
107104, 106eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) = ( J ↾t U_ x e. y B ) )
108107, 40eqeltrd 2540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) e. Comp )
109 inss1 3664 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ [_ z / x ]_ B
110 ssun2 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ x e. { z } B C_ ( U_ x e. y B u. U_ x e. { z } B )
111110, 39sseqtr4i 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U_ x e. { z } B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B
11252, 111eqsstr3i 3475 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ z / x ]_ B C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B
113109, 112sstri 3453 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B )
115 restabs 20230 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) C_ U_ x e. ( y u. { z } ) B /\ U_ x e. ( y u. { z } ) B e. _V ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) )
11638, 114, 79, 115syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) )
11782restin 20231 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ [_ z / x ]_ B e. _V ) -> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) = ( J ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) )
11838, 75, 117syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) = ( J ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) )
119116, 118eqtr4d 2499 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) = ( J ↾t [_ z / x ]_ B ) )
120119, 71eqeltrd 2540 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) e. Comp )
121 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11 |- U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B )
122121uncmp 20467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Top /\ U. ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) = ( ( U_ x e. y B i^i U. J ) u. ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) ) /\ ( ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( U_ x e. y B i^i U. J ) ) e. Comp /\ ( ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) ↾t ( [_ z / x ]_ B i^i U. J ) ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp )
12381, 97, 108, 120, 122syl22anc 1277 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp )
124123exp32 614 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) )
125124a2d 29 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) )
12637, 125syl5 33 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) )
127126a2i 14 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) )
128127a1i 11 . . . 4 |- ( y e. Fin -> ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( y C_ A -> ( J ↾t U_ x e. y B ) e. Comp ) ) -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( J ↾t U_ x e. ( y u. { z } ) B ) e. Comp ) ) ) )
12910, 16, 22, 28, 33, 128findcard2 7837 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp ) ) )
1302, 129mpcom 37 . 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( A C_ A -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp ) )
1311, 130mpi 20 1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A ( J ↾t B ) e. Comp ) -> ( J ↾t U_ x e. A B ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   U.cuni 4212   U_ciun 4292  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   ↾t crest 15368   Topctop 19966   Compccmp 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-rest 15370  df-topgen 15391  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cmp 20451
This theorem is referenced by:  xkococnlem  20723
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