MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fitop Structured version   Unicode version

Theorem fitop 18472
Description: A topology is closed under finite intersections. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
fitop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )

Proof of Theorem fitop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inopn 18471 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J  /\  y  e.  J )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  J )
213expib 1185 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( x  e.  J  /\  y  e.  J
)  ->  ( x  i^i  y )  e.  J
) )
32ralrimivv 2805 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y )  e.  J
)
4 inficl 7671 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( x  i^i  y
)  e.  J  <->  ( fi `  J )  =  J ) )
53, 4mpbid 210 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( fi `  J )  =  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    i^i cin 3324   ` cfv 5415   ficfi 7656   Topctop 18457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657  df-top 18462
This theorem is referenced by:  tgfiss  18555  leordtval2  18775  2ndcsb  19012  alexsubALTlem1  19578  prdsxmslem2  20063
  Copyright terms: Public domain W3C validator