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Theorem fisupcl 7923
Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  B
)

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  R  Or  A )
21supval2 7911 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
3 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  C_  A )
4 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
54rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  y R x )  ->  E. z  e.  B  y R z )
65ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
76ralrimivw 2879 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
87a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
98anim2d 565 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  -> 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
109rgen 2824 . . . . 5  |-  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
12 soss 4818 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
133, 1, 12sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  R  Or  B )
14 simpr1 1002 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  e.  Fin )
15 simpr2 1003 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  B  =/=  (/) )
16 fisupg 7764 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
18 fisup2g 7922 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
19 ssrexv 3565 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
203, 18, 19sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
211, 20supeu 7910 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
22 riotass2 6270 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  B  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  /\  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
233, 11, 17, 21, 22syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
2413, 17supeu 7910 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
25 riotacl 6258 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  B )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  B )
2723, 26eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  -> 
( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  B )
282, 27eqeltrd 2555 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   E!wreu 2816    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    Or wor 4799   iota_crio 6242   Fincfn 7513   supcsup 7896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-om 6679  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-sup 7897
This theorem is referenced by:  supgtoreq  7924  supfirege  10521  fseqsupcl  12050  fsuppmapnn0fiublem  12059  isercolllem2  13444  fsumcvg3  13507  mertenslem2  13650  prdsmet  20605  prdsbl  20726  mdegldg  22198  mdegcl  22201  aannenlem2  22456  aalioulem2  22460  ssnnssfz  27262  oddpwdc  27930  ballotlemiex  28077  erdszelem5  28276  heicant  29624  totbndbnd  29886  prdsbnd  29890  rencldnfilem  30356  aomclem2  30605  fourierdlem25  31432  fourierdlem31  31438  fourierdlem37  31444  fourierdlem42  31449  ssnn0ssfz  32002
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