Theorem fisup2g 15768

Description: A nonempty finite set contains its supremum.

Assertion

Ref	Expression
fisup2g	|- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> sup(B, A, R) e. B)

Proof of Theorem fisup2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr3 884	. . . 4 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> B C_ A)
2		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = x -> (yRz <-> yRx))
3	2	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. B /\ yRx) -> E.z e. B yRz)
4	3	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B -> (yRx -> E.z e. B yRz))
5	4	a1d 15	. . . . . . . . 9 |- (x e. B -> (y e. A -> (yRx -> E.z e. B yRz)))
6	5	r19.21aiv 2175	. . . . . . . 8 |- (x e. B -> A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))
7	6	a1d 15	. . . . . . 7 |- (x e. B -> (A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz) -> A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
8	7	anim2d 620	. . . . . 6 |- (x e. B -> ((A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))))
9	8	rgen 2159	. . . . 5 |- A.x e. B ((A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
10	9	a1i 8	. . . 4 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> A.x e. B ((A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))))
11		soss 3606	. . . . . . . 8 |- (B C_ A -> (R Or A -> R Or B))
12		fisupg 15748	. . . . . . . . . 10 |- ((R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/)) -> E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
13		supeut 15767	. . . . . . . . . . 11 |- ((R Or B /\ E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
14	13	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . 10 |- (((R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/)) /\ E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
15	12, 14	mpdan 768	. . . . . . . . 9 |- ((R Or B /\ B e. Fin /\ B =/= (/)) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
16	15	3exp 1066	. . . . . . . 8 |- (R Or B -> (B e. Fin -> (B =/= (/) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))))
17	11, 16	syl6 25	. . . . . . 7 |- (B C_ A -> (R Or A -> (B e. Fin -> (B =/= (/) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))))))
18	17	com4l 43	. . . . . 6 |- (R Or A -> (B e. Fin -> (B =/= (/) -> (B C_ A -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))))))
19	18	3imp2 1083	. . . . 5 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
20		reurex 2440	. . . . 5 |- (E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
21	19, 20	syl 12	. . . 4 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)))
22	8	reximia 2196	. . . . . . 7 |- (E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
23	19, 20, 22	3syl 24	. . . . . 6 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
24		ssrexv 2673	. . . . . . . 8 |- (B C_ A -> (E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))))
25	24	3ad2ant3 899	. . . . . . 7 |- ((B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A) -> (E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))))
26	25	adantl 424	. . . . . 6 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> (E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))))
27	23, 26	mpd 29	. . . . 5 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
28		supeut 15767	. . . . 5 |- ((R Or A /\ E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))) -> E!x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
29	27, 28	syldan 516	. . . 4 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> E!x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
30		reuuniss2 3817	. . . 4 |- (((B C_ A /\ A.x e. B ((A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))) /\ (E.x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) /\ E!x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))) -> U.{x e. B | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))} = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))})
31	1, 10, 21, 29, 30	syl22anc 1101	. . 3 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> U.{x e. B | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))} = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))})
32		reucl 3213	. . . 4 |- (E!x e. B (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz)) -> U.{x e. B | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))} e. B)
33	19, 32	syl 12	. . 3 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> U.{x e. B | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. B (yRx -> E.z e. B yRz))} e. B)
34	31, 33	eqeltrrd 1972	. 2 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} e. B)
35		df-sup 5664	. 2 |- sup(B, A, R) = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))}
36	34, 35	syl5eqel 1975	1 |- ((R Or A /\ (B e. Fin /\ B =/= (/) /\ B C_ A)) -> sup(B, A, R) e. B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   Or wor 3590  Fincfn 5426  supcsup 5663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-1o 5177  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-sup 5664

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