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Theorem fisup2g 7918
Description: A finite set satisfies the conditions to have a supremum. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fisup2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, R, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem fisup2g
StepHypRef Expression
1 soss 4807 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  R  Or  B ) )
2 simp1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  R  Or  B )
3 fisupg 7760 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
42, 3supeu 7905 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  B  /\  B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
543exp 1193 . . . . 5  |-  ( R  Or  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) )
61, 5syl6 33 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
76com4l 84 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =/=  (/)  ->  ( B  C_  A  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) ) ) )
873imp2 1209 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
9 reurex 3071 . 2  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
10 breq2 4443 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
1110rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y R x )  ->  E. z  e.  B  y R z )
1211ex 432 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
1312ralrimivw 2869 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
1413a1d 25 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1514anim2d 563 . . 3  |-  ( x  e.  B  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  -> 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) ) )
1615reximia 2920 . 2  |-  ( E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
178, 9, 163syl 20 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  A ) )  ->  E. x  e.  B  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   E!wreu 2806    C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    Or wor 4788   Fincfn 7509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513
This theorem is referenced by:  fisupcl  7919  supgtoreq  7920  suprfinzcl  10975  ssnn0fi  12076  ssnnssfz  27831  ballotlemsup  28707  ssnn0ssfz  33192
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