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Theorem fissuni 7837
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Distinct variable groups:    A, c    B, c

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 dfss3 3499 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
3 eluni2 4255 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  x  e.  z )
43ralbii 2898 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
52, 4sylbb 197 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
7 eleq2 2540 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
87ac6sfi 7776 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
91, 6, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
10 imassrn 5354 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  C_  ran  f
11 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1210, 11syl5ss 3520 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  C_  B )
13 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 imaexg 6732 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " A )  e.  _V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  e. 
_V
1615elpw 4022 . . . . . 6  |-  ( ( f " A )  e.  ~P B  <->  ( f " A )  C_  B
)
1712, 16sylibr 212 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
1817ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
19 ffun 5739 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
2019ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  Fun  f )
21 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  e.  Fin )
22 imafi 7825 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  A  e.  Fin )  ->  (
f " A )  e.  Fin )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  Fin )
2418, 23elind 3693 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
25 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  f  Fn  A )
27 ssid 3528 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  A
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  A )
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
30 fnfvima 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A  C_  A  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  ( f " A
) )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ( f
" A ) )
32 elssuni 4281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  ( f " A )  ->  (
f `  x )  C_ 
U. ( f " A ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  C_  U. (
f " A ) )
3433sseld 3508 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ( f " A
) ) )
3534ralimdva 2875 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) ) )
3635imp 429 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) )
37 dfss3 3499 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. ( f " A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. ( f " A
) )
3836, 37sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
3938adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
40 unieq 4259 . . . . 5  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  U. c  =  U. ( f " A ) )
4140sseq2d 3537 . . . 4  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  ( A  C_  U. c  <->  A  C_  U. (
f " A ) ) )
4241rspcev 3219 . . 3  |-  ( ( ( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  C_  U. (
f " A ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
4324, 39, 42syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c )
449, 43exlimddv 1702 1  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U.cuni 4251   ran crn 5006   "cima 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  isacs3lem  15670  isnacs3  30570
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