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Theorem fissuni 7616
Description: A finite subset of a union is covered by finitely many elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fissuni  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Distinct variable groups:    A, c    B, c

Proof of Theorem fissuni
Dummy variables  f  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
2 dfss3 3346 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
3 eluni2 4095 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. z  e.  B  x  e.  z )
43ralbii 2739 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  U. B  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
52, 4sylbb 197 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )
7 eleq2 2504 . . . 4  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( f `  x
) ) )
87ac6sfi 7556 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  x  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
91, 6, 8syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) ) )
10 imassrn 5180 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  C_  ran  f
11 frn 5565 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1210, 11syl5ss 3367 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  C_  B )
13 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
14 imaexg 6515 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " A )  e.  _V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( f
" A )  e. 
_V
1615elpw 3866 . . . . . 6  |-  ( ( f " A )  e.  ~P B  <->  ( f " A )  C_  B
)
1712, 16sylibr 212 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
1817ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ~P B
)
19 ffun 5561 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
2019ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  Fun  f )
21 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  e.  Fin )
22 imafi 7604 . . . . 5  |-  ( ( Fun  f  /\  A  e.  Fin )  ->  (
f " A )  e.  Fin )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  Fin )
2418, 23elind 3540 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  -> 
( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
)
25 ffn 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
2625adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  f  Fn  A )
27 ssid 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  A
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  A  C_  A )
29 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
30 fnfvima 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A  C_  A  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  ( f " A
) )
3126, 28, 29, 30syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ( f
" A ) )
32 elssuni 4121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  ( f " A )  ->  (
f `  x )  C_ 
U. ( f " A ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  C_  U. (
f " A ) )
3433sseld 3355 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  ( f `  x )  ->  x  e.  U. ( f " A
) ) )
3534ralimdva 2794 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) ) )
3635imp 429 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. (
f " A ) )
37 dfss3 3346 . . . . 5  |-  ( A 
C_  U. ( f " A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. ( f " A
) )
3836, 37sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
3938adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  A  C_  U. ( f
" A ) )
40 unieq 4099 . . . . 5  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  U. c  =  U. ( f " A ) )
4140sseq2d 3384 . . . 4  |-  ( c  =  ( f " A )  ->  ( A  C_  U. c  <->  A  C_  U. (
f " A ) ) )
4241rspcev 3073 . . 3  |-  ( ( ( f " A
)  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  A  C_  U. (
f " A ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
4324, 39, 42syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  x  e.  ( f `  x
) ) )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c )
449, 43exlimddv 1692 1  |-  ( ( A  C_  U. B  /\  A  e.  Fin )  ->  E. c  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) A  C_  U. c
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418   Fincfn 7310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314
This theorem is referenced by:  isacs3lem  15336  isnacs3  29046
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