MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Unicode version

Theorem fisseneq 7729
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3474 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  A  =/= 
B ) )
2 pssinf 7728 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )
32expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  C.  B  ->  -.  B  e.  Fin )
)
41, 3syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  (
( A  C_  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  B  e.  Fin ) )
54expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A  =/=  B  ->  -.  B  e.  Fin ) )
65necon4ad 2661 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B )  -> 
( B  e.  Fin  ->  A  =  B ) )
763impia 1192 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  =  B )
873com13 1200 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    C_ wss 3458    C. wpss 3459   class class class wbr 4433    ~~ cen 7511   Fincfn 7514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-om 6682  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518
This theorem is referenced by:  en1eqsn  7747  en2eqpr  8383  en2eleq  8384  psgnunilem1  16387  sylow2blem1  16509  fislw  16514  sylow2  16515  cyggenod  16756  ablfac1c  16990  ablfac1eu  16992  fta1blem  22435  vieta1  22573  umgraex  24188  fiuneneq  31123
  Copyright terms: Public domain W3C validator