MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Unicode version

Theorem fisseneq 7516
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3337 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  B  <->  ( A  C_  B  /\  A  =/= 
B ) )
2 pssinf 7515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C.  B  /\  A  ~~  B )  ->  -.  B  e.  Fin )
32expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  C.  B  ->  -.  B  e.  Fin )
)
41, 3syl5bir 218 . . . . 5  |-  ( A 
~~  B  ->  (
( A  C_  B  /\  A  =/=  B
)  ->  -.  B  e.  Fin ) )
54expdimp 437 . . . 4  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B )  -> 
( A  =/=  B  ->  -.  B  e.  Fin ) )
65necon4ad 2666 . . 3  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B )  -> 
( B  e.  Fin  ->  A  =  B ) )
763impia 1184 . 2  |-  ( ( A  ~~  B  /\  A  C_  B  /\  B  e.  Fin )  ->  A  =  B )
873com13 1192 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A  ~~  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600    C_ wss 3321    C. wpss 3322   class class class wbr 4285    ~~ cen 7299   Fincfn 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-br 4286  df-opab 4344  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-om 6472  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306
This theorem is referenced by:  en1eqsn  7534  en2eqpr  8166  en2eleq  8167  psgnunilem1  15988  sylow2blem1  16108  fislw  16113  sylow2  16114  cyggenod  16350  ablfac1c  16558  ablfac1eu  16560  fta1blem  21609  vieta1  21747  umgraex  23202  fiuneneq  29505
  Copyright terms: Public domain W3C validator