MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Unicode version

Theorem fiss 7920
Description: Subset relationship for function  fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )

Proof of Theorem fiss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3451 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  y  ->  A  C_  y ) )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  y  ->  A  C_  y )
)
32anim1d 564 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y )  ->  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) ) )
43ss2abdv 3514 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
5 intss 4250 . . 3  |-  ( { y  |  ( B 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  ->  |^|
{ y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
7 ssexg 4542 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
9 dffi2 7919 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  =  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
11 dffi2 7919 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( fi `  B )  = 
|^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  B
)  =  |^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
136, 10, 123sstr4d 3487 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   A.wral 2756   _Vcvv 3061    i^i cin 3415    C_ wss 3416   |^|cint 4229   ` cfv 5571   ficfi 7906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7907
This theorem is referenced by:  fipwuni  7922  elfiun  7926  tgfiss  19787  ordtbas  19988  leordtval2  20008  lecldbas  20015  2ndcsb  20244  ptbasfi  20376  fclscmpi  20824  prdsxmslem2  21326
  Copyright terms: Public domain W3C validator