MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Unicode version

Theorem fiss 7662
Description: Subset relationship for function  fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )

Proof of Theorem fiss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3351 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  y  ->  A  C_  y ) )
21adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  y  ->  A  C_  y )
)
32anim1d 559 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y )  ->  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) ) )
43ss2abdv 3413 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
5 intss 4137 . . 3  |-  ( { y  |  ( B 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  ->  |^|
{ y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
7 ssexg 4426 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 450 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
9 dffi2 7661 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  =  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
11 dffi2 7661 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( fi `  B )  = 
|^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
1211adantr 462 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  B
)  =  |^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
136, 10, 123sstr4d 3387 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   _Vcvv 2962    i^i cin 3315    C_ wss 3316   |^|cint 4116   ` cfv 5406   ficfi 7648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649
This theorem is referenced by:  fipwuni  7664  elfiun  7668  tgfiss  18438  ordtbas  18638  leordtval2  18658  lecldbas  18665  2ndcsb  18895  ptbasfi  18996  fclscmpi  19444  prdsxmslem2  19946
  Copyright terms: Public domain W3C validator