MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiss Structured version   Unicode version

Theorem fiss 7677
Description: Subset relationship for function  fi. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )

Proof of Theorem fiss
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3366 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  ( B  C_  y  ->  A  C_  y ) )
21adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  y  ->  A  C_  y )
)
32anim1d 564 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y )  ->  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) ) )
43ss2abdv 3428 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
5 intss 4152 . . 3  |-  ( { y  |  ( B 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  { y  |  ( A 
C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  ->  |^|
{ y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) }  C_  |^|
{ y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
7 ssexg 4441 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  _V )
87ancoms 453 . . 3  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  _V )
9 dffi2 7676 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  = 
|^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  =  |^| { y  |  ( A  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
11 dffi2 7676 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  ( fi `  B )  = 
|^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  (
x  i^i  z )  e.  y ) } )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  B
)  =  |^| { y  |  ( B  C_  y  /\  A. x  e.  y  A. z  e.  y  ( x  i^i  z )  e.  y ) } )
136, 10, 123sstr4d 3402 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( fi `  A
)  C_  ( fi `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2718   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   |^|cint 4131   ` cfv 5421   ficfi 7663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-fin 7317  df-fi 7664
This theorem is referenced by:  fipwuni  7679  elfiun  7683  tgfiss  18599  ordtbas  18799  leordtval2  18819  lecldbas  18826  2ndcsb  19056  ptbasfi  19157  fclscmpi  19605  prdsxmslem2  20107
  Copyright terms: Public domain W3C validator