Theorem fiss 15368

Description: Subset relationship for function fi.

Assertion

Ref	Expression
fiss	|- ((B e. C /\ A C_ B) -> ( fi ` A) C_ ( fi ` B))

Proof of Theorem fiss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 2623	. . . . . . 7 |- (y C_ A -> (A C_ B -> y C_ B))
2	1	com12 14	. . . . . 6 |- (A C_ B -> (y C_ A -> y C_ B))
3	2	adantl 424	. . . . 5 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> (y C_ A -> y C_ B))
4		idd 75	. . . . 5 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> (y e. Fin -> y e. Fin))
5		idd 75	. . . . 5 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> (x = |^|y -> x = |^|y))
6	3, 4, 5	3anim123d 1175	. . . 4 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> ((y C_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y) -> (y C_ B /\ y e. Fin /\ x = |^|y)))
7	6	eximdv 1669	. . 3 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> (E.y(y C_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y) -> E.y(y C_ B /\ y e. Fin /\ x = |^|y)))
8	7	ss2abdv 2680	. 2 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> {x | E.y(y C_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)} C_ {x | E.y(y C_ B /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
9		ssexg 3457	. . . 4 |- ((A C_ B /\ B e. C) -> A e. _V)
10	9	ancoms 484	. . 3 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> A e. _V)
11		fiv 10212	. . 3 |- (A e. _V -> ( fi ` A) = {x | E.y(y C_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
12	10, 11	syl 12	. 2 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> ( fi ` A) = {x | E.y(y C_ A /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
13		fiv 10212	. . 3 |- (B e. C -> ( fi ` B) = {x | E.y(y C_ B /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
14	13	adantr 425	. 2 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> ( fi ` B) = {x | E.y(y C_ B /\ y e. Fin /\ x = |^|y)})
15	8, 12, 14	3sstr4d 2660	1 |- ((B e. C /\ A C_ B) -> ( fi ` A) C_ ( fi ` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  |^|cint 3214  ` cfv 3998  Fincfn 5426   fi cfi 10210

This theorem is referenced by:  elfiun 15369  2ndcsb 15476  topjoin 15527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-fi 10211

Copyright terms: Public domain