MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisn Structured version   Unicode version

Theorem fisn 7905
Description: A singleton is closed under finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fisn  |-  ( fi
`  { A }
)  =  { A }

Proof of Theorem fisn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elsni 4057 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
2 elsni 4057 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
31, 2ineqan12d 3698 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( A  i^i  A ) )
4 inidm 3703 . . . . 5  |-  ( A  i^i  A )  =  A
53, 4syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  i^i  y )  =  A )
6 vex 3112 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
76inex1 4597 . . . . 5  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
87elsnc 4056 . . . 4  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  { A }  <->  ( x  i^i  y )  =  A )
95, 8sylibr 212 . . 3  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  (
x  i^i  y )  e.  { A } )
109rgen2a 2884 . 2  |-  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  i^i  y )  e.  { A }
11 snex 4697 . . 3  |-  { A }  e.  _V
12 inficl 7903 . . 3  |-  ( { A }  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
{ A } A. y  e.  { A }  ( x  i^i  y )  e.  { A }  <->  ( fi `  { A } )  =  { A } ) )
1311, 12ax-mp 5 . 2  |-  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( x  i^i  y )  e.  { A }  <->  ( fi `  { A } )  =  { A } )
1410, 13mpbi 208 1  |-  ( fi
`  { A }
)  =  { A }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470   {csn 4032   ` cfv 5594   ficfi 7888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889
This theorem is referenced by:  ordtbas  19819
  Copyright terms: Public domain W3C validator