MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Unicode version

Theorem fipwuni 7904
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6596 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
2 pwexg 4640 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P U. A  e.  _V )
4 pwuni 4687 . . . 4  |-  A  C_  ~P U. A
5 fiss 7902 . . . 4  |-  ( ( ~P U. A  e. 
_V  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
7 ssinss1 3722 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. A  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. A )
8 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
98elpw 4021 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P U. A  <->  x 
C_  U. A )
108inex1 4597 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1110elpw 4021 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( x  i^i  y ) 
C_  U. A )
127, 9, 113imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P U. A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P U. A  /\  y  e.  ~P U. A )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ~P U. A )
1413rgen2a 2884 . . . 4  |-  A. x  e.  ~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A
( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A
15 inficl 7903 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A ) )
163, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ~P  U. A A. y  e. 
~P  U. A ( x  i^i  y )  e. 
~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A
) )
1714, 16mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  ~P U. A
)  =  ~P U. A )
186, 17sseqtrd 3535 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ~P U. A )
19 fvprc 5866 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
20 0ss 3823 . . 3  |-  (/)  C_  ~P U. A
2119, 20syl6eqss 3549 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P U. A )
2218, 21pm2.61i 164 1  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   ` cfv 5594   ficfi 7888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889
This theorem is referenced by:  fiuni  7906  ordtbas  19820
  Copyright terms: Public domain W3C validator