MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fipwuni 7927
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6576 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
2 pwexg 4560 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  e.  _V )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P U. A  e.  _V )
4 pwuni 4604 . . . 4  |-  A  C_  ~P U. A
5 fiss 7925 . . . 4  |-  ( ( ~P U. A  e. 
_V  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
63, 4, 5sylancl 673 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
7 ssinss1 3628 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. A  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. A )
8 vex 3016 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
98elpw 3925 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P U. A  <->  x 
C_  U. A )
108inex1 4516 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1110elpw 3925 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( x  i^i  y ) 
C_  U. A )
127, 9, 113imtr4i 274 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P U. A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A )
1312adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P U. A  /\  y  e.  ~P U. A )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ~P U. A )
1413rgen2a 2801 . . . 4  |-  A. x  e.  ~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A
( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A
15 inficl 7926 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A ) )
163, 15syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ~P  U. A A. y  e. 
~P  U. A ( x  i^i  y )  e. 
~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A
) )
1714, 16mpbii 216 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  ~P U. A
)  =  ~P U. A )
186, 17sseqtrd 3436 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ~P U. A )
19 fvprc 5842 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
20 0ss 3731 . . 3  |-  (/)  C_  ~P U. A
2119, 20syl6eqss 3450 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P U. A )
2218, 21pm2.61i 169 1  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   _Vcvv 3013    i^i cin 3371    C_ wss 3372   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   U.cuni 4168   ` cfv 5561   ficfi 7911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-fin 7560  df-fi 7912
This theorem is referenced by:  fiuni  7929  ordtbas  20219
  Copyright terms: Public domain W3C validator