MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Unicode version

Theorem fipwuni 7679
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6380 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
2 pwexg 4479 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P U. A  e.  _V )
4 pwuni 4526 . . . 4  |-  A  C_  ~P U. A
5 fiss 7677 . . . 4  |-  ( ( ~P U. A  e. 
_V  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
7 ssinss1 3581 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. A  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. A )
8 vex 2978 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
98elpw 3869 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P U. A  <->  x 
C_  U. A )
108inex1 4436 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1110elpw 3869 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( x  i^i  y ) 
C_  U. A )
127, 9, 113imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P U. A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A )
1312adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P U. A  /\  y  e.  ~P U. A )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ~P U. A )
1413rgen2a 2785 . . . 4  |-  A. x  e.  ~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A
( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A
15 inficl 7678 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A ) )
163, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ~P  U. A A. y  e. 
~P  U. A ( x  i^i  y )  e. 
~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A
) )
1714, 16mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  ~P U. A
)  =  ~P U. A )
186, 17sseqtrd 3395 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ~P U. A )
19 fvprc 5688 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
20 0ss 3669 . . 3  |-  (/)  C_  ~P U. A
2119, 20syl6eqss 3409 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P U. A )
2218, 21pm2.61i 164 1  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   U.cuni 4094   ` cfv 5421   ficfi 7663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-fin 7317  df-fi 7664
This theorem is referenced by:  fiuni  7681  ordtbas  18799
  Copyright terms: Public domain W3C validator