MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipwuni Structured version   Unicode version

Theorem fipwuni 7672
Description: The set of finite intersections of a set is contained in the powerset of the union of the elements of 
A. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipwuni  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A

Proof of Theorem fipwuni
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6376 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  U. A  e.  _V )
2 pwexg 4473 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ~P U. A  e.  _V )
4 pwuni 4520 . . . 4  |-  A  C_  ~P U. A
5 fiss 7670 . . . 4  |-  ( ( ~P U. A  e. 
_V  /\  A  C_  ~P U. A )  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
63, 4, 5sylancl 657 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ( fi `  ~P U. A ) )
7 ssinss1 3575 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  U. A  ->  (
x  i^i  y )  C_ 
U. A )
8 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
98elpw 3863 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P U. A  <->  x 
C_  U. A )
108inex1 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  i^i  y )  e. 
_V
1110elpw 3863 . . . . . . 7  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( x  i^i  y ) 
C_  U. A )
127, 9, 113imtr4i 266 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~P U. A  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A )
1312adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P U. A  /\  y  e.  ~P U. A )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ~P U. A )
1413rgen2a 2780 . . . 4  |-  A. x  e.  ~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A
( x  i^i  y
)  e.  ~P U. A
15 inficl 7671 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ( A. x  e. 
~P  U. A A. y  e.  ~P  U. A ( x  i^i  y )  e.  ~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A ) )
163, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  ~P  U. A A. y  e. 
~P  U. A ( x  i^i  y )  e. 
~P U. A  <->  ( fi `  ~P U. A )  =  ~P U. A
) )
1714, 16mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  ~P U. A
)  =  ~P U. A )
186, 17sseqtrd 3389 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  C_  ~P U. A )
19 fvprc 5682 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A )  =  (/) )
20 0ss 3663 . . 3  |-  (/)  C_  ~P U. A
2119, 20syl6eqss 3403 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( fi `  A ) 
C_  ~P U. A )
2218, 21pm2.61i 164 1  |-  ( fi
`  A )  C_  ~P U. A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   ` cfv 5415   ficfi 7656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fi 7657
This theorem is referenced by:  fiuni  7674  ordtbas  18755
  Copyright terms: Public domain W3C validator