Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fipreima Structured version   Unicode version

Theorem fipreima 7838
 Description: Given a finite subset of the range of a function, there exists a finite subset of the domain whose image is . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fipreima
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fipreima
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3
2 dfss3 3499 . . . . . 6
3 fvelrnb 5921 . . . . . . 7
43ralbidv 2906 . . . . . 6
52, 4syl5bb 257 . . . . 5
65biimpa 484 . . . 4
763adant3 1016 . . 3
8 fveq2 5872 . . . . 5
98eqeq1d 2469 . . . 4
109ac6sfi 7776 . . 3
111, 7, 10syl2anc 661 . 2
12 imassrn 5354 . . . . . . 7
13 frn 5743 . . . . . . 7
1412, 13syl5ss 3520 . . . . . 6
15 vex 3121 . . . . . . . 8
16 imaexg 6732 . . . . . . . 8
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7
1817elpw 4022 . . . . . 6
1914, 18sylibr 212 . . . . 5
2019ad2antrl 727 . . . 4
21 ffun 5739 . . . . . 6
2221ad2antrl 727 . . . . 5
23 simpl3 1001 . . . . 5
24 imafi 7825 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . 4
2620, 25elind 3693 . . 3
27 fvco3 5951 . . . . . . . . . . 11
28 fvresi 6098 . . . . . . . . . . . 12
2928adantl 466 . . . . . . . . . . 11
3027, 29eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10
3130ralbidva 2903 . . . . . . . . 9
3231biimprd 223 . . . . . . . 8
3332adantl 466 . . . . . . 7
3433impr 619 . . . . . 6
35 simpl1 999 . . . . . . . 8
36 ffn 5737 . . . . . . . . 9
3736ad2antrl 727 . . . . . . . 8
3813ad2antrl 727 . . . . . . . 8
39 fnco 5695 . . . . . . . 8
4035, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7
41 fnresi 5704 . . . . . . 7
42 eqfnfv 5982 . . . . . . 7
4340, 41, 42sylancl 662 . . . . . 6
4434, 43mpbird 232 . . . . 5
4544imaeq1d 5342 . . . 4
46 imaco 5518 . . . 4
47 ssid 3528 . . . . 5
48 resiima 5357 . . . . 5
4947, 48ax-mp 5 . . . 4
5045, 46, 493eqtr3g 2531 . . 3
51 imaeq2 5339 . . . . 5
5251eqeq1d 2469 . . . 4
5352rspcev 3219 . . 3
5426, 50, 53syl2anc 661 . 2
5511, 54exlimddv 1702 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   cin 3480   wss 3481  cpw 4016   cid 4796   crn 5006   cres 5007  cima 5008   ccom 5009   wfun 5588   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  cfn 7528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-fin 7532 This theorem is referenced by:  fodomfi2  8453  cmpfi  19776  elrfirn  30555  lmhmfgsplit  30960  hbtlem6  31006
 Copyright terms: Public domain W3C validator