Theorem fiprc 5492

Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeffrey Hankins, 10-Oct-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fiprc	|- Fin e/ _V

Proof of Theorem fiprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snnex 3801	. 2 |- {x | E.y x = {y}} e/ _V
2		snfi 5491	. . . . . . . 8 |- {y} e. Fin
3		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (x = {y} -> (x e. Fin <-> {y} e. Fin))
4	2, 3	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- (x = {y} -> x e. Fin)
5	4	19.23aiv 1674	. . . . . 6 |- (E.y x = {y} -> x e. Fin)
6	5	abssi 2682	. . . . 5 |- {x | E.y x = {y}} C_ Fin
7		ssexg 3457	. . . . 5 |- (({x | E.y x = {y}} C_ Fin /\ Fin e. _V) -> {x | E.y x = {y}} e. _V)
8	6, 7	mpan 759	. . . 4 |- (Fin e. _V -> {x | E.y x = {y}} e. _V)
9	8	con3i 114	. . 3 |- (-. {x | E.y x = {y}} e. _V -> -. Fin e. _V)
10		df-nel 2020	. . 3 |- ({x | E.y x = {y}} e/ _V <-> -. {x | E.y x = {y}} e. _V)
11		df-nel 2020	. . 3 |- (Fin e/ _V <-> -. Fin e. _V)
12	9, 10, 11	3imtr4i 236	. 2 |- ({x | E.y x = {y}} e/ _V -> Fin e/ _V)
13	1, 12	ax-mp 7	1 |- Fin e/ _V

Syntax hints:  -. wn 2   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   e/ wnel 2018  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  {csn 3044  Fincfn 5426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-1o 5177  df-en 5427  df-fin 5430

Copyright terms: Public domain