MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiprc Structured version   Unicode version

Theorem fiprc 7609
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 6601 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 snfi 7608 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
3 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
42, 3mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
54exlimiv 1698 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
65abssi 3580 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
7 ssexg 4599 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
86, 7mpan 670 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
98con3i 135 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
10 df-nel 2665 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
11 df-nel 2665 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
129, 10, 113imtr4i 266 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
131, 12ax-mp 5 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    e/ wnel 2663   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {csn 4033   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-om 6696  df-1o 7142  df-en 7529  df-fin 7532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator